Valutazione di opzioni swing nell'ambito di modelli di mercato con e senza salti

The purpose of this dissertation is to analyze accurately the role of Swing Options in the financial market from the theoretical and practical point of view. These kind of options are traded in the Commodity Market, mainly in the Energy one. In recent years, the importance of these contracts, which are currently traded primarily in the OTC market, is growing considerably in bearing witness to the important role that they are intended to fill in the Commodity Market. The main reason of such expansion is due to the fact that these contracts offer the possibility of multiple exercises during their lifetime. In a market with high volatility, like the Energy Market, having an option with these features can be really important. The Chapter 1 of this dissertation gives a brief explanation of Commodity Market. In particular, it describes some of the most important contracts used nowadays, like Forwards, Futures and Options. The Chapter 2 wants to study the problem of the multiple optimal stopping time. Firstly, the analysis is conducted in the continuous-time where it is defined the value of Swing contracts as the unique viscosity solution of a Hamilton-Jacobi- Bellman equation with suitable boundary conditions. In particular, the focus is on Swing option with penalties and Swing option with strict constraints. Secondly, the study focuses in the discrete-time case. This Chapter is intended to be the basis for the following Sections, outlining the specifications of the contract. The second part (Chapters 3 and 4) deals with simulation and estimation of Swing derivatives. The main purpose of this work is precisely to build and implement an algorithm able to price Swing options. At the moment , in fact , these tools are designed mostly on a theoretical level in order to highlight the characteristics and properties, but due to their flexibility and usefulness are intended to spread, especially in the Energy Market. Chapter 3 presents the Black-Scholes model for the evaluation of Swing options in two different frameworks: the first concerns a contract with a zero refracting period, while the second one uses a positive refracting period. Nowadays the Black-Scholes model is widely spread for the option pricing because of its easy implementation and tractability. However, during the last decade, the log-normal model for yields was not suitable for different reasons, including negative skewness of yields. Therefore other stochastic processes with jumps have become increasingly popular for modelling market fluctuations, both for risk managment and option pricing purposes. Hence, Chapter 4 presents the Exponential-Lévy model. After a concise intro- duction to the mathematical theory and characteristics of Lévy processes, Swing options are evaluated with four different models: two finite-activity models (Mer- ton model and Kou model) and two infinite-activity models (NIG model and VG model). This analysis leads to more accurate results than those obtained in Chapter 3, but at the expense of the computational cost that increases significantly. Furthermore, in order to compare these models, it is implemented a calibration of all parameters specific to each model. In conclusion, Chapter 5 summarizes the results obtained in the previous chapters focusing on the most important issues that emerged from the numerical analyzes conducted.

Questo lavoro è stato intrapreso con lo scopo di analizzare in dettaglio le opzioni Swing, dal punto di vista teorico e pratico. Le opzioni Swing sono tradate nel Commodity Market, prevalentemente nel mer- cato dell’Energia. Negli ultimi anni, l’importanza di questi contratti, che attual- mente sono scambiati in prevalenza nel mercato OTC, sta crescendo in maniera considerevole testimoniando il ruolo di primo piano che sono destinati a ricoprire all’interno del mercato delle commodities. Le ragioni di tale espansione possono essere ricondotte, in buona parte, al fatto che in un mercato volatile come è quello delle commodities essere in possesso di contratti Swing può essere determinante, in quanto attribuisce il diritto di più esercizi in finestre temporali prefissate. Sulla base di queste premesse, il Capitolo 1 ha lo scopo di fornire i concetti base del Commodity Market. In particolare, vengono analizzati gli strumenti più diffusi sul mercato energetico quali Forwards, Futures e Opzioni. Nel Capitolo 2 viene presentato il problema dal punto di vista del controllo otti- mo stocastico. Invero, per studiare gli istanti temporali in cui conviene esercitare l’opzione in parola, occorre risolvere un problema di controllo ottimo multiplo. In primo luogo, l’analisi è condotta nel continuo considerando due casi particola- ri: contratti Swing con penalità e contratti Swing con vincoli rigidi. In seguito lo studio si concentra anche nel caso discreto. Questo capitolo vuole essere la base di quelli successivi, delineando le specifiche del contratto. Nei Capitoli 3 e 4 si formalizza quanto detto in precedenza al fine di valutare il derivato. Lo scopo principale di questo lavoro è proprio quello di costruire ed implementare un algoritmo in grado di prezzare le opzioni Swing. Al momento, infatti, questi strumenti sono studiati per lo più a livello teorico. Tuttavia, considerata la loro flessibilità e utilità, occorre approfondirli dal punto di vista applicativo al fine di sostenere la loro diffusione nel Mercato dell’Energia. A tal fine, nel Capitolo 3 è stato utilizzato il Modello di Black-Scholes per va- lutare le opzioni Swing in due specifiche contrattuali: il primo per contratti con refracting period nullo, il secondo per contratti con refracting period positivo. Il modello di Black-Scholes per la valutazione di opzioni è tutt’ora largamente utilizzato per la sua trattabilità dal punto di vista matematico e computazionale. Ciò nonostante, negli ultimi anni il modello log-normale per i rendimenti si è mostrato non essere più adatto. Nello specifico, le motivazioni più accreditate si fondano sui fenomeni di code grasse e skewness negativa dei rendimenti. Pertanto, nel Capitolo 4 viene utilizzato un modello più generale e preciso, il Mo- dello Lèvy-Esponenziale. Dopo una breve introduzione ai processi di Lévy e alle loro caratteristiche, le op- zioni Swing sono state valutate con quattro diversi modelli: due ad attività finita (Modello di Merton e Modello di Kou) e due ad attività infinita (Modello NIG e Modello VG). Siffatta analisi ha portato a risultati più precisi di quelli ottenuti nel Capitolo 3, a discapito, però, del costo computazionale che aumenta sensibilmente. Inoltre, al fine di confrontare tra loro questi modelli è stata implementata la ca- librazione dei parametri propri di ciascun modello. In conclusione, il Capitolo 5, riassume i risultati ottenuti nei capitoli precedenti fo- calizzando l’attenzione sulle tematiche più rilevanti emerse dalle analisi numeriche condotte.