On the mathematical modeling of a metal foam expansion process

Metal foams are special cases of cellular metals with closed cells. These materials attract the attention of researchers and engineers, thanks to properties that make them suitable for a wide range of applications, in particular in the automotive industry. In this thesis we will consider the “Powder line” production route. It is characterized by a pronounced foam expansion stage in the liquid state, as we have highlighted in the experimental work we have performed at M.U.S.P. laboratory in Piacenza: the metal matrix is in the melted state upon heat treatment of the foaming precursor(s). The high costs and the lack of control in the manufacturing process prevent the industrial production of metal foams. A mathematical model describing the manufacturing route of metal foams could help engineers in the study of the physical parameters that are involved in the evolution of the foam. We are interested in the study of the expansion stage of the foam within a hollow mold. The mathematical modeling of the foam expansion stage can be reduced to the mathematical modeling of two-phase incompressible-compressible fluids: the incompressible part is the liquid metal, while the compressible part is the gas inside bubbles. We have derived a thermodynamically consistent phase-field model for the description of the expansion stage of the foam. The system of equations associated the phase-field model for metal foams is an incompressible-compressible version of a Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system. Several numerical approximations of the NSCH system have been proposed in literature in the case of incompressible two-phase fluids, but, up to our knowledge, the numerical analysis in the incompressible-compressible case is missing. Very recently numerical techniques have been developed for quasi-incompressible fluids, i.e., fluids in which both phases are incompressible, but the mixing is compressible. The main difficulties in the numerical approximation of these systems are represented by the presence of the pressure in the chemical potential definition and by the velocity field that is no longer divergence-free. The idea is to build a numerical scheme that, at the discrete level, preserves mass conservation and the energy dissipation law associated to the original system. In this thesis we propose an energy-based numerical method for the Lowengrub-Truskinovsky system for quasi-incompressible fluids using a modified-midpoint temporal discretization and using Discontinuous Galerkin finite elements for the spatial discretization. Then, we have extended the numerical approximation to the incompressible-compressible case, that is the expansion model for metal foams.

Le schiume metalliche sono casi particolari di metalli cellulari a celle chiuse. Questi materiali attirano l’attenzione di ricercatori e ingegneri, grazie a proprietà che li rendono adatti per una grande varietà di applicazioni, in particolare nell’industria dell’automobile. In questa tesi, considereremo il metodo di produzione di tipo “Powder line”. E’ caratterizzato da una significativa fase di espansione allo stato liquido , come abbiamo messo in evidenza attraverso il lavoro sperimentale condotto presso il laboratorio MUSP di Piacenza: la matrice metallica è fusa in seguito ad un trattamento termico del precursore. I costi elevati e la mancanza di controllo all’interno del processo produttivo hanno ostacolato la diffusione delle schiume metalliche su scala industriale. Un modello matematico che descriva il processo di produzione delle schiume metalliche potrebbe aiutare gli ingegneri nello studio dei parametri fisici che sono coinvolti nell’evoluzione della schiuma. Siamo interessati a studiare la fase di espansione della schiuma all’interno di uno stampo. La modellizzazione matematica della fase di espansione della schiuma può essere ricondotta alla modellizzazione matematica di fluidi bifase incomprimibili-comprimibili: la parte incomprimibile è il metallo liquido, mentre la parte comprimibile è il gas all’interno delle bolle. Abbiamo derivato un modello phase-field, consistente sul piano termodinamico, per la descrizione della fase di espansione della schiuma. Il sistema di equazioni associato al modello phase-field è un sistema di equazioni di tipo Navier-Stokes-Cahn-Hilliard per fluidi bifase incomprimibili-comprimibili. In letteratura si trovano diverse approssimazioni numeriche nel caso di fluidi bifase incomprimibili, ma manca una discretizzazione numerica nel caso incomprimibile-comprimibile. Recentemente sono state sviluppate tecniche nel caso quasi-incomprimibile, ovvero fluidi che in entrambe le fasi sono incomprimibili, ma in cui la miscela è comprimibile. Le principali difficoltà nell’approssimazione numerica di questi sistemi sono rappresentate dalla presenza della pressione nell’espressione del potenziale chimico e dal campo di velocità che non è più a divergenza nulla. L’idea è quella di costruire uno schema numerico che, a livello discreto, preservi le proprietà di conservazione della massa e di dissipazione dell’energia associate al sistema di originario. In questa tesi proponiamo un metodo numerico che preservi la dissipazione dell’energia per il sistema di equazioni di Lowengrub-Truskinovsky per fluidi bifase quasi-incomprimibili, utilizzando una discretizzazione temporale di tipo modified-midpoint e usando elementi finiti discontinui per la discretizzazione spaziale. Infine abbiamo esteso la discretizzazione numerica al caso incomprimibile-comprimibile, che è quello che ci interessa ai fini dello studio del modello di espansione delle schiume metalliche.