Discontinuous finite element approximation of Cahn-Hilliard problems

This thesis is devoted to the design of a new discontinuous Galerkin (DG) approximation of Cahn-Hilliard (CH) equation with dynamic boundary conditions. To achieve this goal we focus on a set of subproblems that represent crucial steps towards the achievement of the final goal. In particular, Chapter 2 of the thesis is devoted to the introduction of discontinuous Galerkin on elliptic surface problems in which we present the surface high-order discretization for the principal discontinuous methods present in literature. In Chapter 3 we present and analyze a parabolic problem with dynamic boundary conditions in symmetric interior penalty (SIPG) framework. In Chapter 4 we explore several classical multigrid techniques to improve the efficiency of the solution of the algebraic problems stemming from the DG approximation of the Cahn-Hilliard equation. In Chapter 5 we introduce a new set of smoothers and we analyze their performances using local Fourier analysis (LFA). Chapter 6 is devoted to the DG approximation of the Cahn-Hilliard problem with dynamic boundary conditions.

Lo scopo di questa tesi è stato quello di sviluppare uno schema per approssimare con elementi discontinui (DG) l'equazione di Cahn-Hilliard (CH) con condizioni al bordo dinamiche. Per raggiungere questo obiettivo è stato necessario analizzare problemi più semplici che ci permettessero di raggiungere lo scopo finale. In particolare, il capitolo 2 della tesi è dedicato all'analisi del metodo degli elementi finiti discontinui per problemi ellittici su superfici tenendo in considerazione i principali metodi DG presenti in letteratura. Nel capitolo 3 viene presentato ed analizzato con il metodo SIPG degli elementi finiti discontinui un problema parabolico con condizioni al bordo dinamiche. Nel capitolo 4 vengono esplorate alcune tecniche multigrid per migliorare l'efficienza nella ricerca della soluzione del problema algebrico proveniente della discretizzazione DG del problema di CH. Nel capitolo 5 viene proposta una nuova famiglia di smoothers e ne vengono analizzate le loro performance mediante l'analisi di Fourier locale (LFA). Infine, l'ultimo capitolo è dedicato all'approssimazione DG del problema di Cahn-Hilliard con condizioni dinamiche al bordo.