Dinamica della volatilità implicita nei modelli a volatilità locale stocastica

In this work we deal with the problem of the implied volatility dynamics under different assumptions of the underlying's volatility process. Our aim is to find a model consistent with both market quotes of implied volatility and the intrinsic dynamics given by prices of other liquid derivatives listed in the market. This problem plays a very important role in the FX market in which different barrier options are quoted in addition to plain vanillas ones. Double No Touch are typical examples of liquid exotic derivatives. We first present the Dupire local volatility model. Even though it's perfectly calibrated by construction, it is too poor in order to get the right market dynamics. Then we focus on stochastic volatility models, among which the Heston model, the lognormal volatility model and the hyperbolic volatility one. Under this framework we take in consideration also path-dependent volatility model introduced by Hobson-Rogers. We calibrate every stochastic volatility model with the Fundamental Transform method by Lewis since it's enough general to take in account all cases. This method requires to solve a PDE with complex coefficients and to integrate a function in the complex plane. Although these models solve many problems of local volatility, they are not enough flexible to capture the right behavior of market dynamics. For this reason we move to study the local-stochastic volatility models, since they have a new degree of freedom, called mixing factor, which can be used to impose the implied volatility dynamics. In addition these models are perfectly calibrated to the market surface thanks to their local part. To calibrate the Leverage Function we use the Particle Method of Guyon and Henry-Labordère, an algorithm based on Monte Carlo simulation of the process itself. We note that different choices of stochastic volatility's dynamics do not influence the barrier options' prices. We pay serious attention to the implementation, especially to every calibration process. Finally we present an interesting algorithm to generate a non-uniform temporal grid. It has come out to be very useful in order to accelerate the Monte Carlo convergence of every process that shares a local part. In chapter 1 we introduce briefly the Option Pricing Theory and the Black and Scholes model, outlining strengths and weaknesses of the latter one. Then we focus on the implied volatility problem and its main solutions known in literature. In chapter 2 we introduce the Dupire local volatility model. We deduce the Dupire formula from the Fokker-Planck equation of the underlying's probability density. We discuss the implied volatility surface construction and the drawbacks of the model. In chapter 3 we present the stochastic volatility models; we derive the two-dimensional pricing equation and we analyze the Fundamental Transform approach in order to price european options. After that we study in details the calibration process and we compare process dynamics between local and stochastic volatility. In chapter 4 we introduce the local stochastic volatility models and we discuss their calibration's condition. Then we focus on the Particle Method, applying it first to the solution of the McKeane-Vlasov EDS and then to the Leverage Function evaluation. In the end we explicate the relation between barrier option prices and implied volatility dynamics and we show how these kind of model are the only ones able to price correctly the exotic derivatives. In the last chapter we report all the results we have carried out in the previous parts adding many implementational details. The outcomes are presented with the aid of graphs and tabs.

In questo lavoro affronteremo il problema della dinamica della volatilità implicita sotto varie ipotesi per la volatilità del sottostante. Lavoreremo per trovare un modello consistente sia con le quotazioni di volatilità implicita che con la dinamica intrinseca nei prezzi di altri prodotti liquidi nel mercato. Questo problema assume molta rilevanza nel mercato Forex, in cui sono quotati, oltre alle opzioni plain vanilla, numerose opzioni barriera, tra cui le Double No Touch. Approfondiremo dapprima il modello di volatilità locale di Dupire il quale, nonostante sia calibrato perfettamente per costruzione a meno di errori numerici, risulta troppo semplice per cogliere a fondo la dinamica intrinseca nel mercato. Passeremo quindi ad analizzare i modelli a volatilità stocastica, tra cui Heston, il modello a volatilità iperbolica di Jackel, il modello a volatilità lognormale ed il modello a volatilità path-dependent alla Hobson-Rogers. Calibreremo tutti i modelli mediante la Fundamental Transform di Lewis, che risulta abbastanza generale da includere tutti i casi presi in esame. Tale metodo richiede sia di risolvere una EDP a coefficienti complessi che di integrare una funzione in campo complesso. Sebbene questi modelli permettano di risolvere molti problemi della volatilità locale, non risultano abbastanza duttili da poter replicare, oltre alle plain vanilla, i prezzi di opzioni esotiche path-dependent. Analizzeremo dunque i modelli a volatilità locale-stocastica che, grazie ad un nuovo grado di libertà detto mixing factor, permettono di imporre la dinamica della volatilità implicita, riuscendo così a replicare i prezzi degli esotici. Grazie alla parte locale, la calibrazione agli smiles di mercato è equivalente ai modelli di volatilità locale. Per il calcolo della Leverage Function si utilizzerà il Particle Method di Guyon e Henry-Labordère, basato sulla simulazione Monte Carlo del processo stesso. Si osserverà che differenti scelte per la dinamica di volatilità stocastica non influiscono sul pricing delle opzioni barriere. Sarà posta grande attenzione ai dettagli implementativi, soprattuto per i processi di calibrazione. Verrà inoltre presentato un'interessante algoritmo per la generazione di una griglia temporale non uniforme, che permetterà di ottenere con i processi in cui vi sia parte locale una convergenza dei prezzi nelle simulazioni Monte Carlo decisamente superiore rispetto ad una semplice griglia equispaziata. Nel capitolo 1 introdurremo brevemente la teoria dell'Option Pricing ed il modello di Black e Scholes, delineando i limiti ed i pregi di quest'ultimo. Ci focalizzeremo sul problema della volatilità implicita e presenteremo le principali soluzioni note in letteratura. Nel capitolo 2 introdurremo il modello di volatilità locale di Dupire, ricavando la formula dall'equazione di Fokker-Planck per la densità del processo sottostante. Dopo aver discusso della costruzione della superficie di volatilità implicita, ci soffermeremo sui limiti del modello. Nel capitolo 3 tratteremo i modelli a volatilità stocastica; deriveremo la relativa equazione di pricing e presenteremo il metodo della Fundamental Transform per prezzare le opzioni europee. Successivamente analizzeremo nel dettaglio il processo di calibrazione e confronteremo le dinamiche implicate dai modelli a volatilità locale e stocastica. Nel capitolo 4 presenteremo i modelli a volatilità locale-stocastica, soffermandoci sulla condizione di calibrazione. Esporremo la teoria del Particle Method, applicandolo prima per la risoluzione di una EDS di McKeane-Vlasov e poi per il calcolo della Leverage Function. Infine studieremo la relazione tra i prezzi delle barriere e la dinamica della volatilità implicita e mostreremo come questi modelli permettano effettivamente di poter replicare i prezzi delle opzioni esotiche. Nell'ultimo capitolo verranno riportati i risultati numerici sotto forma di grafici e tabelle e verranno forniti numerosi dettagli implementativi.