A nonlocal stochastic Cahn-Hilliard equation

In this thesis we discuss the mathematical analysis of the Cahn-Hilliard partial differential equation, which describes the time evolution of the physical phenomenon called spinodal decomposition. This phenomenon occurs, for example, when a binary alloy, which is initially very hot, is abruptly cooled down. Throughout this cooling process, the alloy follows various specific stages during which one can observe distinctive geometric patterns. These configurations are approximated by the solution of the Cahn-Hilliard equation. Such equation also applies to other phenomena occurring in fields such as tumor growth, population dynamics, image imprinting. We first describe the spinodal decomposition phenomenon and provide a concise physical motivation of the structure of the equation. We then move to a detailed mathematical analysis of some known results associated with both the deterministic and stochastic versions of the Cahn-Hilliard equation. Finally, we prove some new theorems of existence, uniqueness and measurability of suitable solutions to a specific stochastic extension of a nonlocal Cahn-Hilliard equation.

In questa tesi trattiamo l'analisi matematica dell'equazione alle derivate parziali di Cahn-Hilliard, la quale descrive l'evoluzione temporale del fenomeno fisico chiamato decomposizione spinodale. Questo fenomeno si verifica, per esempio, quando una lega metallica binaria, che inizialmente è molto calda, viene bruscamente raffreddata. Nel corso di questo processo di raffreddamento, la lega passa attraverso alcuni stadi durante i quali si possono osservare configurazioni geometriche caratteristiche. Queste configurazioni vengono approssimate dalla soluzione dell'equazione di Cahn-Hilliard. Tale equazione si applica anche ad altri fenomeni attinenti a campi come la diffusione dei tumori, la dinamica delle popolazioni, la ricostruzione di immagini. Per prima cosa descriviamo il fenomeno della decomposizione spinodale e forniamo una breve motivazione fisica della struttura dell'equazione. Quindi passiamo ad una analisi matematica dettagliata di alcuni risultati noti attinenti sia alla versione deterministica dell'equazione di Cahn-Hilliard sia alla versione stocastica della medesima. Infine dimostriamo alcuni teoremi originali sull'esistenza, l'unicità e la misurabilità di appropriate soluzioni per una specifica versione stocastica di una equazione di Cahn-Hilliard in forma non locale.