Bayesian semiparametric approaches to mixed-effects models with an application in reliability analysis

In this work we provide a methodological study about Bayesian nonparametric random- effects models, and an application of these models in reliability. After a brief introduction to the nonparametric Bayesian approach, the construction of the normalized generalized gamma process (NGG) by normalization of a completely random measure is provided. This process is an ingredient of the models we will introduce later. Accelerated life testing (ALT) involves acceleration of failure times with the purpose of predicting the life-time of the product at normal use conditions. Data from an ALT can be analyzed by a so-called Accelerated Failure Time (AFT) model, where the dependence between the logarithm of the failure time is related to some explanatory variables. We analyze an AFT made by NASA on some pressure vessels, which are critical components of the Space Shuttle, via two semi-parametric Bayesian AFT models. The pressure vessels are wrapped with Kevlar from different spools and we treated the spool effect as random. In particular, we provide credibility intervals of some given quantiles of the failure-time distribution for a pressure vessel wrapped with fiber from a new random spool. In the first model the error is represented by a mixture of parametric distribution with a NGG mixing measure , while in the second one the random effects have a NGG process prior. For both models, we derived the analytical expressions of the full-conditional distributions needed to make a MCMC algorithm to sample from the posterior distribution; then we coded the algorithms in C and we made numerical simulations. In particulat, at each iteration of the first model’s algorithm, we sample a trajectory of the NGG process; while in the second model, we implemented a Polya-urn scheme algorithm.

Questo lavoro si prefigge un duplice obiettivo: da una parte quello di effettuare uno studio metodologico sui modelli ad effetti casuali in ambito bayesiano non parametrico, dall'altro di utilizzare questi modelli in un problema di affidabilità. Dopo una breve introduzione all'approccio bayesiano non parametrico, segue la costruzione del processo gamma generalizzato normalizzato (NGG) a partire da misure di probabilità aleatorie a incrementi indipendenti, e una descrizione delle principali proprietà. Tale processo sarà utilizzato come ingrediente nei modelli presentati in seguito. I test di rottura accelerata (ALT) sono test di affidabilità in cui si accelera il processo di rottura di un pezzo meccanico con l'obiettivo di estrapolare quale sarà la vita del componente a condizioni di stress normali. I dati relativi a un ALT possono essere analizzati con un modello “accelerated failure time” (AFT) in cui si cerca di comprendere il legame tra il logaritmo del tempo di rottura e alcune variabili esplicative. In questo lavoro analizzeremo un ALT effettuato dalla NASA su alcuni recipienti in pressione dello Space Shuttle. I recipienti sono rivestiti con Kevlar proviente da diversi rocchetti e trattiamo l'effetto del rocchetto come casuale. I tempi di rottura sono rappresentati con due modelli AFT bayesiani semiparametrici, con l'obiettivo di fornire intervalli di credibilità per determinati quantili della distribuzione del tempo di vita di un recipiente rivestito con Kevlar proveniente da un nuovo rocchetto. Nel primo modello, l'errore è rappresentato da una mistura di distribuzioni parametriche in cui la misturante è un processo NGG. Nel secondo modello, gli effetti casuali vengono considerati in modo non parametrico, utlizzando una prior di tipo NGG. Per entrambi i modelli abbiamo calcolato analiticamente le espressioni delle full-conditional necessarie per poter costruire un algoritmo MCMC che permetta di campionare dalla distribuzione a posteriori; quindi abbiamo implementato gli algoritmi in C ed eseguito simulazioni numeriche. In particolare, nel primo modello ad ogni iterazione dell'algoritmo simuliamo una traiettoria dal processo NGG, mentre nel secondo usiamo un algoritmo di tipo Polya-urn.