Some fourth order differential equations modeling suspension bridges

Nowadays, the complicated oscillations of modern suspension bridges are still not completely understood. Moreover, most of the existing mathematical models in literature fail to describe the static or dynamic behavior of the suspension bridges. In this thesis, we suggest several reasonable new mathematical models including one beam model and two plate models, which may help to describe the oscillation behavior appearing in the actual suspension bridges. Usually, the length of the deck of the bridge is much larger than its width. Hence, it is natural to view the deck as an elastic beam which is suspended to a flexible sustaining string, where the beam and the string are connected by a large number of inextensible hangers. We analyze the potential energies in the system (the suspension bridge) after the deformation of the system from the rest position to a new position due to a live load. The Euler-Lagrange equation is obtained by taking the critical points of the total energy in the bridge. Together with the hinged boundary conditions, we deduce a nonlinear nonlocal problem and we prove that it admits at least one weak solution whereas the uniqueness result seems to depend on the parameters involved in the equation. Since the beam model cannot describe the torsional oscillation appearing in the suspension bridge, one should consider the deck of the bridge as a long-narrow thin rectangular plate. We first recall the plate model suggested by Ferrero-Gazzola for describing dynamical suspension bridge. Based on the linear Kirchhoff-Love plate theory, a semi-linear evolution problem which admits a unique solution is deduced. Then we consider a non-coercive problem corresponding to the plate model and this problem also has a unique local solution. We analyze the asymptotic behavior of the unique local solution of the problem for different initial conditions. Finally, in order to describe the boundary behavior of the plate (deck), we set up a kind of dynamical boundary conditions that reflect the physical constraints on the boundaries. Assume that the restoring force due to the hangers is in a linear regime, we obtain a linear evolution problem with the dynamical boundary conditions. We then prove that this evolution problem admits a unique explicit solution. The previous plate model is correct adequately if the deformations of the plate are small. However, when large deformations appear in the plate, the linear Kirchhoff-Love plate theory cannot describe the behavior of the oscillations. Hence, one needs to consider the geometric nonlinearities of the plate due to the wide oscillations and the interaction with the stretching behavior of the plate should be analyzed. In this case, we suggest a quasilinear plate model based on the von Kármán plate equations. Two fourth order differential equations are deduced by applying variational principles to the energy functional, where we introduce the so-called Airy stress function. By adding the restoring force due to the hangers and cables to the equations, we obtain a system coupled by two fourth order differential equations. We prove existence and multiplicity results of the system with suitable boundary conditions which describe the situation of the suspension bridge. Certainly, we do not claim that our mathematical models are perfect. This is just the beginning in order to reach more challenging results in this field and much more work (both mathematical and engineering) is still necessary.

Al giorno d'oggi, le complesse oscillazioni dei moderni ponti sospesi non sono ancora del tutto chiare. Inoltre, la maggior parte dei modelli matematici esistenti in letteratura non riescono a descrivere il comportamento statico e dinamico dei ponti sospesi. In questa tesi, suggeriamo diversi nuovi modelli matematici, tra cui un modello di trave e due modelli di piastre, che possono aiutare a descrivere il comportamento delle oscillazioni che appaiono nei ponti sospesi reali. Di solito, la lunghezza dell’impalcato del ponte è molto maggiore della sua larghezza. Quindi, è naturale visualizzare il ponte come una trave elastica che sospesa a un cavo di sostegno flessibile, dove la trave e il cavo sono collegati da un gran numero di pendini inestensibili. Analizziamo le energie potenziali nel sistema (ponte sospeso) dopo lo scostamento dalla posizione di riposo a una nuova posizione, per causa di un carico mobile. L'equazione di Eulero-Lagrange si ottiene cercando i punti critici dell’energia totale del ponte. Insieme alle condizioni al contorno incernierate, si ottiene un problema non locale non lineare. Dimostriamo che esso ammette almeno una soluzione debole mentre il risultato di unicità sembra dipendere dai parametri coinvolti nell'equazione. Poiché il modello di trave non può descrivere le oscillazioni torsionali che appaiono nei ponti sospesi, consideriamo poi l’impalcato del ponte come una piastra rettangolare sottile lunga e stretta. Come prima cosa ricordiamo il modello di piastra suggerito da Ferrero-Gazzola per descrivere la dinamica di un ponte sospeso. Partendo dalla teoria lineare della piastra di Kirchhoff-Love, ottieniamo un problema di evoluzione semi-lineare e dimostriamo che ammette una soluzione unica. Poi consideriamo un problema non coercitivo conforme al modello di piastra e questo problema ha anch’esso una soluzione locale unica. Analizziamo il comportamento asintotico della soluzione trovata per diverse condizioni iniziali. Infine, per descrivere il comportamento sul bordo della piastra (ponte), abbiamo introdotto delle condizioni al contorno dinamiche che riflettono i vincoli fisici sui lati. Si suppone che la forza di richiamo dovuta ai pendini sia in regime lineare: si ottiene un problema di evoluzione lineare con condizioni al contorno dinamiche. Abbiamo poi dimostrato che questo problema di evoluzione ammette una soluzione unica esplicita. Il modello di piastra precedente è corretto se le deformazioni della piastra sono piccole. Tuttavia, quando grandi deformazioni appaiono nella piastra, la teoria lineare di Kirchhoff-Love non descrive il comportamento delle oscillazioni. Quindi, bisogna considerare le non linearità geometriche della piastra dovute alle ampie oscillazioni e l'interazione con il comportamento di allungamento della piastra deve essere analizzato. In questo caso, si usa un modello di piastra quasilineare basato sulle equazioni di von Kármán. Due equazioni differenziali di quarto ordine sono ricavate applicando principi variazionali al funzionale dell'energia, dove si introduce la cosiddetta funzione di stress di Airy. Aggiungendo nelle equazioni la forza di richiamo dovuta ai pendini e ai cavi, si ottiene un sistema accoppiato da due equazioni differenziali di quart’ordine. Si dimostra esistenza e molteplicità di soluzioni del sistema con opportune condizioni al contorno che descrivono la situazione fisica del ponte sospeso. Pur non pretendendo che i nostri modelli matematici sono perfetti, riteniamo che il nostro studio possa essere l'inizio per ottenere risultati più significativi in questo campo e altro lavoro (sia matematico che ingegneristico) sembra essere necessario.