An adaptive interpolation-free conservative scheme for the three-dimensional Euler equations on dynamic meshes for aeronautical applications

A novel approach to solve the finite volume formulation for unsteady inviscid compressible flows over three-dimensional dynamic grids is proposed. The major novelty of the proposed approach concerns the interpretation of local mesh modifications—node displacement, deletion, addition or edge swap—by means of a three-steps procedure that allows to compute the volume change due to mesh adaptation as series of fictitious continuous deformations of the finite volumes. Thanks to this procedure, the solution on the new grid is recovered by exploiting the Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation of the Euler equation without any explicit interpolation, even if grid connectivity changes occur. This allows to preserve the scheme properties, especially conservativeness and mono-tonicity, and to implement multi-step time schemes in a straightforward way. More precisely, conservativeness is enforced by an appropriate computation of the grid velocity that allows to automatically fulfill the Geometric Conservation Law. The robust strategy adopted in the present work consists in moving the mesh keeping the topology fixed until the quality falls below a certain threshold, then local mesh adaptation is performed to re-store mesh quality and preventelement entanglement. Furthermore, mesh adaptation is exploited to increase solution accuracy, according to a suitable target grid spacing, which in unsteady simulations is obtained from the solution computed in the prediction step carried out after the mesh deformation. Indeed, no delay between mesh adaptation and the actual geometry is introduced. The validity of the proposed conservative adaptive interpolation-free strategy is first assessed by different simulations of reference test cases, in which a good agreement with the reference results have been obtained, then three-dimensional simulations of aeronautical interest are carried out. Mesh adaptation is successfully exploited in the steady simulation of the transonic flow around the ONERA M6 wing to capture the peculiar lambda-shock that forms over the upper wing surface. The capability of the proposed approach to accurately capture the relevant flow features is assessed also in the unsteady simulations of a pitching infinite-span NACA 0012 wing, where the bi-dimensional character of the flow is well reproduced and a good agreement with the bi-dimensional results obtained for the pitching airfoil is observed. Finally, the capability of dealing with large boundary displacement is assessed by computing the flow around the infinite-span NACA 0012 wing in the laboratory reference frame, namely a quiescent flow is enforced over the boundary domain and the wing travels through the domain at the flight velocity. With respect to the standard steady simulation in the wing reference frame, the results of the unsteady simulation show a limited oscillation around the steady value. Analogous results are obtained also in a similar simulation over a finite-span wing, assessing that the proposed strategy is well-suited to perform accurate conservative simulations of moving-body problems over adaptive grids.

In questa tesi è presentato un approccio innovativo per risolvere la formulazione a volumi finiti per correnti tridimensionali, comprimibili non viscose non stazionarie. L'aspetto maggiormente innovativo dell'approccio proposto consiste nell'interpretazione delle modifiche locali della griglia—spostamento, rimozione, inserimento di un nodo o edge swap—attraverso una procedura a tre passi che permette di calcolare la variazione di volume dovuta all'adattazione di griglia, come una serie di deformazioni continue fittizie dei volumi finiti. Grazie a questa procedura, la soluzione sulla nuova griglia è ricostruita sfruttando la formulazione ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian) delle equazioni di Eulero senza alcuna esplicita interpolazione, anche se la connettività della griglia è cambiata. Questo permette di preservare le proprietà dello schema, soprattutto conservatività e monotonicità, e di implementare facilmente schemi temporali multi-passo. Più precisamente, la conservatività è garantita da una scelta appropriata della velocità di griglia che garantisce di soddisfare automaticamente la GCL (Geometric Conservation Law). La strategia robusta adottata in questo lavoro permette di deformare la griglia mantenendo la connettività fissata finché la qualità della griglia non scende sotto una certa soglia, allora la griglia è modificata localmente per ripristinare la qualità ed evitare che gli elementi si sovrappongano. Inoltre, l'adattazione di griglia è utilizzata per aumentare l'accuratezza della soluzione, imponendo come obiettivo un'opportuna spaziatura, che nelle simulazioni non stazionarie è ottenuta dalla soluzione calcolata nel passo di predizione che avviene dopo la deformazione della griglia. In questo modo, non viene introdotto nessun ritardo tra l'adattazione di griglia e la geometria reale. La strategia adattiva, conservativa e senza interpolazione qui proposta è prima validata attraverso simulazioni di differenti test di riferimento, duranti i quali la corrispondenza tra i risultati numerici e quelli di riferimento è risultata buona. Successivamente, l'adattazione di griglia è applicata con successo in simulazioni stazionarie del flusso transonico attorno all'ala ONERA M6 per catturare il particolare urto a lambda che si forma sul dorso dell'ala. La capacità dell'approccio proposto di cogliere accuratamente le caratteristiche rilevanti del flusso è confermata anche nelle simulazioni non stazionarie dell'ala NACA 0012 ad apertura infinita oscillante, dove il carattere bi-dimensionale del flusso è stato ben riprodotto ed si è osservato un buon accordo con i risultati 2D ottenuti per il profilo oscillante. Infine, la capacità di trattare ampi movimenti dei bordi è verificata attraverso la simulazione di un flusso attorno all'ala NACA 0012 ad apertura infinita nel sistema di riferimento del laboratorio, cioè un flusso a velocità nulla è imposto sul contorno e l'ala si muove attraverso il domino alla velocità di volo. I risultati di questa simulazione non-stazionaria si scostano poco da quelli della simulazione stazionaria standard nel sistema di riferimento dell'ala. I risultati analoghi che si ottengono in una simulazione simile attorno ad un'ala di apertura finita confermano che la strategia proposta è adatta per simulazioni accurate e conservative di problemi caratterizzati da corpi in movimento su griglie adattive.