Formulazione mista per flussi in mezzi porosi fratturati : approssimazione con le differenze finite mimetiche

This work concerns the analysis of a model which describes the flow in a fractured porous media by the Darcy equations in mixed form both in the porous media and in the fractures, and the appropriate coupling conditions. These fractures are supposed to have a small thickness with respect to the media scale and indeed they are described by a reduced model. A suitable functional setting has been defined to introduce the weak formulation of the coupled problem also in the case of a fracture network, and existence and uniqueness of the solution to the model problem have been proved in the case of a single immersed fracture. Mimetic Finite Differences are the discretization technique both in the porous media and in the fractures. In addition to the theoretical part a code has been developed to compute the pressure and the velocity of the fluid in the media and in the fractures by the creation of the mesh, the assembling of the system resulting from the discretization and its resolution after imposing boundary and coupling conditions. Conditions of flow conservation and pressure continuity are imposed at the intersection points. Finally, the analysis of pressure and velocity errors and of convergence orders has been carried out.

Questo lavoro riguarda l'analisi di un modello che descrive il flusso in un mezzo poroso fratturato mediante le equazioni di Darcy in forma mista sia nel mezzo poroso che nelle fratture e le opportune condizioni di accoppiamento. Si suppone che le fratture abbiano spessore piccolo rispetto alla scala del mezzo e vengono infatti descritte mediante un modello ridotto. È stato definito un setting funzionale adatto ad introdurre la formulazione debole del problema accoppiato anche nel caso di un network di fratture e sono state provate esistenza e unicità della soluzione del problema modello supponendo di avere una sola frattura immersa nel dominio. Le Differenze Finite Mimetiche costituiscono la tecnica di discretizzazione utilizzata sia nel mezzo poroso che nelle fratture. Oltre alla parte teorica è stato sviluppato un codice che si occupa del calcolo della pressione e della velocità del fluido nel mezzo e nelle fratture mediante la creazione della mesh, l'assemblaggio del sistema derivante dalla discretizzazione e la risoluzione di quest'ultimo dopo aver imposto le condizioni al bordo e di accoppiamento. Nei punti di intersezione vengono imposte condizioni di conservazione del flusso e continuità della pressione. Infine è stata effettuata un'analisi sugli errori e sugli ordini di convergenza di pressione nel mezzo e nelle fratture e di velocità nel mezzo.