Application of the multirate TR-BDF2 method to the time discretization of nonlinear conservation laws

In this thesis we focused on the multirate TR-BDF2 method to discretize in time hyperbolic non linear conservation laws and non linear ordinary differential equations where components have different characteristic time scales. Multirate methods use different time steps for each component to reduce the computational costs. The study of numerical methods for the resolution of partial differential equations of non linear hyperbolic type represents a vast field of numerical mathematics. These equations are used to describe many physical phenomena. To discretize in space we use the Finite Volume method with the Rusanov numerical flux. A C++ code has been developed to demonstrate the efficiency and accuracy of the multirate method. The algorithm is able to solve, with the single rate or the multirate TR-BDF2 method, zero-dimensional geochemistry problems. It is also able to compute the solution of conservation laws in the case they have a monotone flux.

Questo lavoro di tesi ha come oggetto di studio il metodo multirate TR-BDF2 per la discretizzazione temporale di leggi di conservazione iperboliche non lineari. I metodi multirate usano differenti passi temporali per ogni componente del sistema in modo da cercare di ridurre i costi computazionali. Lo studio di metodi numerici per la risoluzione di equazioni a derivate parziali iperboliche non lineari rappresenta un vasto campo della matematica numerica. Tali equazioni, infatti, sono usate per descrivere molte applicazioni in campo fisico. Per discretizzarle in spazio è stato utilizzato il metodo ai Volumi Finiti dove, come flusso numerico, è stato utilizzato il flusso di Rusanov. Il tutto è stato implementato in un codice C++ per verificare l’efficienza e l’accuratezza del metodo multirate. L’algoritmo implementato è in grado risolvere, con il metodo multirate o single rate TR-BDF2, dei problemi zero dimensionali geo-chimici. È anche in grado calcolare la soluzione di leggi di conservazione nel caso in cui esse abbiano un flusso monotono.