Permutation tests for the equality of covariance operators of functional data with applications to evolutionary biology

The two-sample permutation test for the equality of covariance operators of functional data proposed by Pigoli et al. (2014) is extended to the case of multiple data samples. To this end, the non-parametric combination methodology of Pesarin and Salmaso (2010) is used to incorporate all the pairwise comparisons between the data samples into a global test. Different combining functions and permutation strategies are proposed and analysed in detail. The resulting test allows to make inference on the equality of the covariance operators of multiple groups and, if there is evidence to reject the null hypothesis, to identify the pairs of groups having different covariances. Additionally, a review of the most advanced methods for multiplicity control is presented. It is shown that, for some combining functions, step-down adjusting procedures are available. Also, the empirical power of this new test is computed and compared with those of the already existing tests for different case studies. These show that the performances are the same as those of the best methods proposed so far, whilst making less stringent assumptions on the data-generating process. Finally, the proposed methodology is applied to the data collected during the experiment described in Swallow et al. (1998), that used selective breeding to study the genetics and evolution of locomotor behaviour in mice.

Il presente lavoro di tesi è dedicato all'estensione del test di permutazione per l’uguaglianza degli operatori di covarianza di due campioni di dati funzionali proposto da Pigoli et al. (2014), al caso di confronti multipli. A tal fine, il metodo di combinazione non parametrica di Pesarin e Salmaso (2010) viene utilizzato per incorporare tutti i confronti a coppie tra i campioni in un test globale. Diverse funzioni di combinazione e strategie di permutazione sono proposte ed analizzate nel dettaglio. Il test risultante permette di fare inferenza sull’uguaglianza degli operatori covarianza di più gruppi e, se c’è evidenza per rifiutare l’ipotesi nulla, di identificare le coppie di gruppi aventi covarianze differenti. Viene inoltre presentata una revisione dei più avanzati metodi per il controllo della molteplicità. In particolare, si mostra che, per alcune funzioni di combinazione, sono disponibili procedure step-down di aggiustamento dei p-values. La potenza empirica del test viene calcolata e confrontata con quelle dei metodi già esistenti in diversi casi test. Questi mostrano che le prestazioni sono pari a quelle dei migliori test proposti finora, nonostante le ipotesi sul processo che genera i dati siano meno stringenti. Infine, il metodo è applicato ai dati raccolti durante l’esperimento descritto in Swallow et al. (1998), nel quale l’allevamento selettivo di topi da laboratorio è stato usato per studiarne la genetica e l’evoluzione del comportamento motorio.