Un approccio numerico per la valutazione di derivati energetici nel modello di Geman-Roncoroni

In this work we focus on evaluating derivative contracts in the framework of electricity markets, after the assumption that electricity spot price evolution is driven by the Geman-Roncoroni model. In literature there are several methods for option pricing when we study jump processes. In particular, we will use a FEM-based approach to solve the integro-differential equation linked to the price model, comparing our results with the ones provided by other numerical methods. Electricity markets, unlike other commodity markets, exhibit some features that make option pricing particularly difficult. Sure enough, electricity has very limited storage possibilities and it is impossible make use of its reservations when supply and demand are unbalanced on the market. During these periods, prices experience dramatic variations and exhibit spikes, which appear with a certain frequency and seasonality. Hence, the first problem is to provide a suitable model, which describes the trajectorial features and matches with the statistical moments of the daily price variations distribution. The solution to this task is provided by the Geman-Roncoroni model in 2006. This show two important new features, which has never been observed in the other models in literature: the jump size takes value on a bounded interval (in order to avoid that underlying may assume whichever value) and it is introduced a threshold function to determine jump direction. Then, it is necessary to find out suitable pricing techniques for contracts traded on energy markets. They are much more exposed than other markets to supply and demand imbalances, so the necessity of insurance and hedging arises. To this end, we adopt a numerical approach based on the resolution of a partial integro-differential equation. It is naturally linked to an evolution of spot price according to a jump model (as the parabolic partial differential equation is associated to the Black-Scholes model) and its solution corresponds to the option value. For this class of equations solutions in closed form doesn't exist, not even for European options. Hence, it is necessary approximate numerically the PIDE, and then solve it. We based this work on a finite element approach, for both the differential part and the non-local term. In our model, the second one will not lead to a full matrix, but the threshold function force us to compute it element by element. At least, our results are compared to the values obtained by Monte Carlo methods.

In questo lavoro ci occuperemo di valutare contratti derivati nell'ambito di mercati energetici, dopo aver assunto che il prezzo spot segua un'evoluzione guidata dal modello di Geman-Roncoroni. In letteratura sono già presenti diversi metodi per l'option pricing quando si lavora con processi di salto. In particolare, adotteremo un approccio basato sui metodi agli elementi finiti per risolvere l'equazione integro differenziale associata al modello di prezzo, confrontando infine i valori ottenuti con quelli disponibili grazie all'utilizzo di altri metodi numerici. Il mercato dell'elettricità, rispetto a quelli di altre commodities, presenta della caratteristiche che rendono particolarmente delicato il processo di option pricing. Infatti, non essendo l'elettricità un bene immagazzinabile, alle cui scorte si può accedere quando viene meno l'equilibrio tra domanda e offerta, in questi momenti di crisi il prezzo subisce drastiche variazioni, con picchi di una certa entità, che compaiono con una certa frequenza e stagionalità. Il primo problema che si pone è quindi quello di trovare un modello adeguato, che descriva queste particolarità nelle traiettorie e rispetti i momenti statistici della distribuzione delle variazioni di prezzo. La risposta a queste esigenze è stata fornita dal modello di Geman-Roncoroni presentato nel 2006. Questo presenta due sostanziali novità rispetto ai modelli già presenti in letteratura: l'ampiezza di salto è concentrata in un intervallo, in modo che il sottostante non possa assumere qualunque valore, e la presenza di una funzione di soglia che determina la direzione del salto. Successivamente, si manifesta l'esigenza di trovare delle adeguate tecniche di prezzaggio per i contratti scambiati sui mercati energetici. Questi infatti risultano ancora più esposti agli squilibri domanda/offerta rispetto ad altri tipi di mercato; da qui nasce la necessità di assicurarsi e attuare adeguate strategia di copertura, per le quali lo strumento fondamentale sono i derivati energetici. A questo scopo abbiamo adottato un approccio basato sulla risoluzione numerica di un'equazione integro-differenziale alle derivate parziali. Questa è naturalmente associata all'evoluzione del prezzo secondo un modello con salti (come al modello di Black-Scholes è associata un'equazione parabolica) e la sua soluzione corrisponde al valore di un'opzione. Per tali equazioni non esistono soluzioni in forma chiusa, nemmeno per opzioni europee. E' quindi necessario procedere con l'approssimazione numerica dell'equazione e alla successiva risoluzione. In questo lavoro abbiamo adottato un approccio agli elementi finiti sia per la parte differenziale sia per il termine non locale. Quest'ultimo, nel nostro modello, non darà luogo ad una matrice piena, ma la presenza della funzione di soglia rende necessario il calcolo elemento per elemento. Infine, i risultati ottenuti sono stati confrontati con i valori per opzioni europee calcolati mediante i metodi Monte Carlo.