Antieigenvalues and sample coviarance matrices

In the last decades the necessity of finding statistical tools to analyze larger and larger data, has been an important topic for researchers. A huge theory about the limit distribution of the eigenvalues of sample covariance matrices, whose dimensions diverge under certain conditions, has been developed. Almost 50 years ago, Karl Gustafson introduced new quantities, called antieigenvalues, whose theory in a context of fixed matrices has been developing, with important applications in numerical analysis, wavelets, statistics, quantum mechanics, finance and optimization. In this report it is presented the basic theory concerning the limit spectral distribution of sample covariance matrices, by reporting the Wigner’s law and the Marcenko-Pastur’s law, and it is introduced to the so far known theory on the antieigenvalues. The real aim is to try to find a law that describes the limit distribution of the first antieigenvalue of a sample covariance matrix.

Negli ultimi decenni la necessità di trovare strumenti statistici in grado di analizzare dati di dimensioni sempre maggiori, è stato un importante argomento per i ricercatori. E' stata sviluppata molta teoria sulla distribuzione limite degli autovalori di matrici di covarianza campionaria, le cui dimensioni divergono sotto determinate condizioni. Circa 50 anni fa, Karl Gustafson ha introdotto delle nuove quantità, gli antiautovalori, la cui teoria in un contesto di matrici fissate si sta sviluppando, con importanti applicazioni in analisi numerica, wavelet, statistica, meccanica quantistica, finanza e ottimizzazione. In questa tesi, viene presentata la teoria base riguardante la distribuzione spettrale limite di matrici di covarianza campionaria, riportando la legge di Wigner e la legge di Marcenko-Pastur, e viene introdotta la teoria fino ad ora nota sugli antiautovalori. Il vero obiettivo è cercare di trovare una legge che descriva la distribuzione limite del primo antiautovalore di una matrice di covarianza campionaria.