On the design and control of periodic structures

This doctoral thesis focuses on the design of periodic structures, with the goal of vibration isolation and control. Using a common mathematical background, it is possible to describe not only purely mechanical systems, but also extend the design to multi-physical materials, thus introducing a set of electrical parameters as additional degrees of freedom. Furthermore, the design guidelines obtained for such structures constitute a set of rules of thumbs still valid for systems where this analytical approach has not yet been fully developed, such as 2D and 3D structures. After a preliminary discussion on the basic properties of periodic structures, i.e. the creation of attenuation regions (called band-gaps) in the frequency response, a dissertation on the analytical methods to describe such systems is provided. In particular, a robust formulation of the so-called transfer matrix method is provided, with applications in both the main fields of periodic structures, i.e. crystals and metamaterials. Starting from this background, a set of design rules is derived for rods and beams, highlighting the mutual influence of each parameter with respect to the wave propagation behavior. A periodic beam is realized following these guidelines, and then tested to confirm theoretical predictions. Afterwards, an optimized 3D periodic structure is manufactured with the goal of maximizing the band-gap wideness. Results, experimentally corroborated, confirm that its first band-gap is the largest ever seen in literature and covers the most part of the audible mid-high frequency band. Furthermore, a prototype of a 3D metamaterial with a low-frequency band-gap is introduced. Piezoelectric inserts are then considered to extend the design parameter space. These elements are connected to shunt circuits, behaving like lumped resonators. The goal is to optimize the system considering the reciprocal influence of parameters coming from both physical domains. A specific interest is devoted in widening an attenuation region linking two subsequent band-gaps thanks to the lumped resonator effect. This idea is tested on an homogeneous Aluminum beam with a periodic set of shunted piezoelectric patches, and results are in good agreement with analytical predictions. The approach here presented can be extended to more complicated case-studies and also provides a starting point for the study of active control applied to periodic structures.

La presente tesi di dottorato si concentra sulla progettazione di strutture periodiche, con l’obiettivo di ridurre e controllare le vibrazioni. Facendo uso di una unica base analitica, è possibile descrivere non solo sistemi puramente meccanici, ma considerare anche materiali multi-fisici, includendo quindi un opportuno set di parametri elettrici come grado di libertà aggiuntivo. Inoltre, le conclusioni ottenute con questa procedura per sistemi monodimensionali, risultano essere valide linee guida per l’analisi di strutture periodiche con più dimensioni, dove in generale non esistono soluzioni puramente analitiche. Dopo aver chiarito le proprietà fondamentali delle strutture periodiche, dotate di una risposta in frequenza con zone di attenuazione (note come band-gaps), vengono presentati dei metodi analitici per affrontarne lo studio. Particolare importanza è data al metodo della matrice di trasferimento, che sarà utilizzato per descrivere diverse tipologie di strutture periodiche. Partendo da questa base, viene fornito un set di regole di progettazione per aste e travi periodiche, evidenziando la mutua influenza tra i parametri di design relativamente alle proprietà di propagazione delle onde nel mezzo. Utilizzando queste indicazioni, è stata quindi ricavata una trave periodica, poi testata per confermare i dati sperimentali. Un ulteriore passo avanti è stata la realizzazione di una struttura periodica 3D, ottimizzata con l’obiettivo di massimizzare l’ampiezza della prima band-gap. I risultati, teorici e sperimentali, confermano che tale struttura possiede la band-gap più ampia disponibile in letteratura, che copre quasi tutta la parte medio-alta della banda dell’udibile. Viene anche introdotto un primo prototipo di metamateriale 3D risonante, con una band-gap a bassa frequenza. Per allargare il set di parametri di design a disposizione, vengono quindi considerati degli inserti piezoelettrici nella struttura. Questi inserti sono inoltre connessi a circuiti elettrici di shunt, comportandosi quindi da risuonatori localizzati. L’obiettivo è quello di ottimizzare la progettazione del sistema, includendo nell’analisi la mutua influenza dei parametri provenienti da entrambi i domini fisici. Particolare attenzione è riservata alla creazione di una ampia zona di attenuazione ottenuta collegando due band-gap vicine tramite l’effetto di un risuonatore. Questa idea è stata testata su una trave in alluminio, sulla quale sono state disposte in modo periodico delle patch piezoelettriche in configurazione shunt, ottenendo risultati in ottimo accordo con le previsioni analitiche. L’approccio qui illustrato può essere esteso a sistemi più complessi e fornisce una base di partenza per lo studio del controllo attivo applicato a strutture periodiche.