Il modello SABR per tassi negativi : un approccio numerico

The purpose of this work is to present some solutions to the now well-known problem of negative rates in the current economy. In particular, we will try to readjust the SABR model (one of stochastic volatility models most commonly used to treat the smile of volatility) for a proper management of negative rates. The introduction will explain the problem. In chapter 2, we will start considering the CEV model with a general stochastic volatility. Assuming that the correlation between interest rate and volatility is zero we can get an integral representation of the option price, provided a closed form for the moment generating function of the cumulative stochastic variance (or its inverse). Using this result, it is possible to obtain an explicit solution for the SABR model in terms of a two-dimensional integral. In chapter 3, we will then show how to get the free-boundary SABR model. We will prove that the proposed solution is much more efficient compared to the shifted SABR one. We will also get an exact formula for the option price in case of zero correlation between the rate and volatility. For the case with general correlation, it will be applied a mapping procedure with the intent of simulate one without correlation. In chapter 4, it will be shown that, although the approximation with which we got our free SABR is very good, it can not however guarantee the absence of arbitrage. An exact pricing formula for the normal SABR model with a free boundary and arbitrary correlation will be derived and shown. In the end we will come to the mixture SABR model, which is a weighted sum of the normal SABR model and the free zero-correlation one. This model is of course arbitrage free and has a closed form for the option price. Adding degrees of freedom it will be possible to calibrate the mixture SABR to a wider range of financial instruments, in particular to swaptions and CMS payments jointly. In chapter 5, through numerical examples I will show that the accuracy of the calibration to swaptions only is very good for the considered models (shifted, free-boundary and mixture SABR). As regards the joint calibration with respect to swaptions and CMS, I will instead show that the model mixture SABR works in a better way. This behavior is due to the flexibility of the model volatility smile, it has enough degrees of freedom to keep the swaption volatility calibrated independently from the movement of the wings for the calibration of the CMS volatility.

Lo scopo di questo lavoro è illustrare alcune soluzioni all'ormai noto problema dei tassi negativi nell'economia attuale. In particolare si cerca di riadattare il modello SABR (uno tra modelli a volatilità stocastica più usati per trattare lo smile di volatilità) per una corretta gestione dei tassi negativi. Nell'introduzione verrà inquadrato il problema. Nel capitolo 2, si inizia considerando il modello CEV con una generale volatilità stocastica. Assumendo che la correlazione tra tasso e volatilità sia zero è possibile ottenere una rappresentazione integrale del prezzo dell'opzione, a patto di avere una forma chiusa per la funzione generatrice dei momenti della varianza stocastica cumulativa (o della sua inversa). Usando questo risultato è possibile ottenere una soluzione esplicita in termini di un integrale bidimensionale per il modello SABR. Nel capitolo 3, si mostrerà poi come ottenere il modello free-boundary SABR. Si dimostrerà che la soluzione proposta è molto più efficiente rispetto a quella dello shifted SABR. Si otterrà una formula esatta per il prezzo dell'opzione in caso di correlazione zero tra il tasso e la volatilità. Per il caso generale con correlazione, sarà applicata una procedura di mappatura del modello al fine di simularne uno senza correlazione. Nel capitolo 4, si mostrerà che, sebbene l'approssimazione con cui si è ottenuto il free SABR è molto buona, non può tuttavia garantire l’assenza di arbitraggio. Si mostrerà la formula di pricing esatta che deriva dal modello normal SABR con un contorno libero e correlazione arbitraria. Infine si giungerà al modello mixture SABR, che è una somma pesata del modello normal SABR e di quello free a correlazione zero. Questo modello è ovviamente libero da arbitraggio e ha una forma chiusa per il prezzo dell'opzione. Aggiungendo gradi di libertà sarà inoltre possibile calibrare il mixture SABR ad un più vasto numero di strumenti finanziari, in particolare a swaption e CMS in combinata. Nel capitolo 5, attraverso esempi numerici dimostrerò in prima persona che l'accuratezza della calibrazione attraverso sole swaption è molto buona per i modelli considerati (shifted, free-boundary e mixture SABR). Per quanto riguarda la calibrazione combinata rispetto a swaption e CMS, mostrerò che il modello mixture SABR lavora in modo migliore. Questo comportamento è dovuto alla flessibilità della curva di volatilità del modello che ha abbastanza gradi di libertà per mantenere la volatilità delle swaption calibrata indipendente dal movimento delle ali per la calibrazione della volatilità dei CMS.