Model order reduction h-refinement

With a reference to a viscoplastic bar discretized by the finite element method (FEM), an h-refinement technique for model order reduction is developed. The Perzyna viscoplasticity model is adopted. The procedure employs the Proper Orthogonal Decomposition-Galerkin (POD-G) in conjunction with the h-refinement mechanism, which enriches the reduced-basis space online by ‘splitting’ a given basis vector into several vectors. For this purpose, the snapshots are collected from a standard full order FEM analysis in the offline phase and a tree structure is constructed, using a binary clustering algorithm. The singular value decomposition is used for construction of a low-dimensional basis for POD algorithm and a corresponding reduced order model (ROM). The projection error is computed offline for a predefined size of basis vector and extent of the basis splitting (refinement according to the tree). In the online phase, the truncated basis is refined based on the tree structure. The relative error is computed on the basis of full and reduced order models. The constructed reduced order model with refined basis is applied to the viscoplastic bar problem, where in the presence of imperfections (cross area reduction) giving rise to a strain-localization. The same technique is also applied to a different problem governed by Burgers equation. Such problem, being strongly nonlinear, is an interesting benchmark for the proposed technique.

Con riferimento al problema di una barra viscoplastica discretizzata utilizzando il metodo degli elementi finiti, viene sviluppata una tecnica di “h-refinement” applicata ad una procedura di “model order reduction”. Viene adottato il modello viscoplastico di Perzyna. La procedura risoltiva proposta utilizza la tecnica denominata POD-G (“Proper Orthogonal Decomposition – Galerkin”) in combinazione con il meccanismo di “h-refinement” che arricchisce lo spazio a base ridotta attraverso lo “splitting” dei vettori di base. A questo scopo, si raccolgono “snapshots” ottenuti dal modello FEM completo (generati offline) e si costruisce una struttura ad albero usando un algoritmo di “clustering” binario. Si fa uso di una decomposizione ai valori singolari per costruire una base di dimensione ridotta e il corrispondente modello di ordine ridotto. Viene valutato in modalità offline l’errore (in termini dei proiezione) conseguente alla dimensione predefinita della base adottata e del grado di “splitting” adottato. In modalità online, la base troncata viene raffinata utilizzando la struttura ad albero. L’errore relativo viene calcolato confrontando la risposta del modello completo con quella del modello a base ridotta. Il modello ridotto viene applicato al problema della barra viscoplastica in cui siano presenti delle imperfezioni (costituite da riduzioni dell’area trasversale) che generano un fenomeno di localizzazione delle deformazioni. La stessa procedura risolutiva viene applicata anche a un problema diverso, governato dall’equazione di Burgers. Questo problema, caraterizzato da forte nonlinearità, rappresenta un banco di prova interessante per valutare l’efficacia della tecnica risolutiva proposta.