Pricing large panels of options via option empirical characteristic function

In this work we propose a new approach for the estimation of parametric option pricing models using large option panels. Specifically, we introduce the new concept of Option Empirical Characteristic Function (OECF). The OECF can be easily computed from a portfolio of options following the replication strategy proposed by Bakshi and Madan (2000). Then the parameters of the model are calibrated by minimizing the distance between the OECF and the characteristic function of the model. Therefore, in Chapter 1, we introduce the basic notation for option pricing showing and comparing how to compute prices via the standard approach (following Heston (1993) and Heston and Nandi (2000)) or via characteristic function (following Carr and Madan (1999)). Since Carr-Madan formula can be computed smartly taking advantage of its Fourier Transform representation we also show and compare three different Fourier Transform methodology (Fast Fourier Transform (FFT), Fractional Fast Fourier Transform (FRFT) and finally Fast Cosine Transform(FCSE)) that allows to speed up the pricing process. In Chapter 2 we analyze the Heston-Merton model introduced for the first time in Bates (1996). Since this is the model we use for our calibration problem we also try to better understand the meaning of the model parameters. Indeed in addition to the standard model analysis we also study the impact of parameters on the implied volatility surface and on the characteristic function of the model. For this reason we have constructed a Graphical User Interface that allows to change the values of the parameters and simultaneously see the effects on the characteristic function and on the implied volatilities. Then in Chapter 3, after a short introduction on the standard calibration approach, we start introducing the core of our methodology. Therefore taking advantage of Bakshi and Madan (2000) we show how to deduce the OECF and then how we have constructed our minimization algorithm following the "implied-state" methodology introduced by Pan (2002). At the end of this part we also show, using a realistic Monte Carlo simulation settings, the goodness and robustness of our calibration approach trying to understand how our methodology react in different frameworks: we will change the number of options involved, the range of moneyness trying to make more conservative simulations and the presence or not of frictions in the market (following Andersen et al. (2015)). Finally in the last Chapter, we test our Option Empirical Characteristic Function methodology on the S&P500 comparing it with the one minimizing the distance in implied volatility. This comparison will be done computing the calibration between January 2007 - December 2014 and also proceed year by year in the same time framework taking in account not only the Root Mean Square Error but also the computational time of the two calibration strategies.

In questo elaborato proponiamo un nuovo approccio per la stima di modelli parametrici nell'ambito di grandi pannelli di opzioni. A tal scopo introduciamo il concetto di Option Empirical Characteristic Function (OECF). L'OECF può essere facilmente calcolata seguendo la strategia proposta da Bakshi e Madan (2000) che ci permette di ottenere la funzione caratteristica empirica a partire da un portafoglio di opzioni. I parametri di modello saranno quindi calibrati minimizzando la distanza tra l'OECF appena ottenuta e la funzione caratteristica del modello. Nel Capitolo 1 vengono quindi introdotte le principali nozioni per prezzare un'opzione sia via approccio standard (seguendo quanto fatto in Heston (1993) e Heston e Nandi (2000)) sia mediante funzione caratteristica (seguendo Carr e Madan (1999)). Inoltre, siccome la formula di Carr-Madan può essere utilizzata in modo più efficiente tenendo conto della sua rappresentazone a Traformata di Fourier, sono stati introdotti e propriamente comparati tre diversi metodi di risoluzione per Trasformate di Fourier. Queste, note come Fast Fourier Transform (FFT), Fractional Fast Fourier Transform (FRFT) e Fast Cosine Transform(FCSE) consentono di velocizzare il processo di pricing. Il Capitolo 2 invece é incentrato sull'analisi del modelo d Heston-Merton cosi come introdotto per la prima volta in Bates (1996). Siccome questo sarà anche il modello utilizzato per il problema di calibrazione ci siamo interessati con particolare attenzione alla comprensione dei suoi parametri. A tal scopo abbiamo anche studiato l'impatto dei singoli parametri sulla volatilità impicita e sulla funzione caratteristica di modello. Per far ciò abbiamo implementato un'interfaccia grafica GUI in grado di permettere all'utente di cambiare dinamicamente i parametri cosi da vederne simultaneamente gli effetti sulla funzione caratteristica e sulla volatilità implicita. Successivamente nel Capitolo 3, dopo una breve introduzione sulla metodologia standard di calibrazione, abbiamo spiegato più in profondità il nostro nuovo algoritmo. Perciò, partendo da Bakshi e Madan (2000), abbiamo ricavato la formulazione della OECF e abbiamo poi spiegato come utilizzarla per implementare il nostro algoritmo di minimizazzione sfruttando l'approccio "implied-state" introdotto da Pan (2002). Abbiamo quindi testato la bontà e la robustezza di quanto introdotto in precedenza mediante simulazioni Monte Carlo. Queste sono state fatte in modo da capire come il metodo rispondesse a determinati cambi di setting. Per cui abbiamo verificato la reattività del modello al variare del numero di opzioni, dell'intervallo di moneyness e della presenza o meno di attriti sul mercato (seguendo quanto fatto da Andersen et al. (2015)). Per concludere, nell'ultimo Capitolo abbiamo testato il nostro approccio che si basa sulla Option Empirical Characteristic Function (OECF) sull'S&P500. Cosi facendo lo abbiamo comparato con la metodologia standard analizzandone sia gli errori in termini di RMSE sia i tempi compuazionali. Questo confronto é stato fatto calibrando i dati sia su tutto l'intervallo Gennaio 2007 - Dicembre 2014 sia calibrando anno per anno sullo stesso intervallo temporale.