A numerical study of the isogeometric collocation method

In this master project, we explore isogeometric collocation methods based on B-splines to solve partial differential equations. More specifically, we concentrate our work on one-dimensional problems of first and second order and we analyse the convergence of the error under h-refinement using several kind of collocation methods. Our analysis is motivated by the search of an isogeometric collocation method that converges with the same rate of convergence as the Galerkin isogeometric analysis. Two different families of isogeometric collocation methods are explored. First, we mimic the equivalence between the Galerkin spectral element method with numerical integration and its collocation counterpart, using the isogeometric paradigm. However, we will show that this equivalence is still missing for the isogeometric analysis. Then, inspired from the Gauss-Lobatto Lagrange extraction of B-splines [Nguyen and Schillinger, 2017], a B-spline basis that is interpolatory at the Gauss-Legendre-Lobatto nodes is built, and collocation at some subsets of such nodes is studied. Subsets of Gauss-Legendre-Lobatto nodes are chosen so that the collocation methods derived from them converge with the best possible rate under h-refinement and so that the condition number of the collocation matrix is minimal. A good convergence of the error is obtained, however it is still not optimal.

In questa tesi vengono studiati metodi di collocazione isogeometrici basati su funzioni di base B-splines per risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali. Più specificamente, concentriamo la nostra attenzione su problemi mono-dimensionali del primo e del second’ordine e analizziamo la convergenza dell’errore sotto h-refinement usando diversi metodi di collocazione. La nostra analisi è motivata dalla ricerca di un metodo di collocazione isogeometrico che converga con lo stesso ordine di convergenza del metodo di Galerkin isogeometrico. Vengono studiate due diverse famiglie di metodi di collocazione isogeometrici. In primo luogo, ci ispiriamo all’equivalenza tra il metodo di Galerkin degli elementi spettrali con integrazione numerica e la sua controparte di collocazione, per applicarla in un’ottica isogeometrica. Tuttavia, mostreremo che questa equivalenza manca ancora per quanto riguarda l’analisi isogeometrica. In secondo luogo, traendo ispirazione dal processo di estrazione di Gauss-Lobatto Lagrange delle B-splines [Nguyen e Schillinger, 2017], costruiamo una base B-splines interpolatoria nei nodi di Gauss-Legendre-Lobatto e analizziamo la collocazione in alcuni sottoinsiemi di tali nodi. Questi sottoinsiemi dei nodi di Gauss-Legendre-Lobatto sono scelti affinché i metodi di collocazione da loro derivati convergano con il miglior ordine possibile sotto h-refinement, con numero di condizionamento della matrice di collocazione minimale. Un buon ordine di convergenza dell’errore è ottenuto, nonostante non sia ancora ottimale.