Algebraic multigrid methods for high order continuous and discontinuous Galerkin methods

We present algebraic multigrid solvers for elliptic problems discretized by high order continuous and discontinuous Galerkin finite element methods. Algebraic multigrid is an effective technique for solving the linear system of equations stemming from the discretization of partial differential equations. For continuous Galerkin finite element methods we consider classical and smoothed aggregation algebraic multigrid methods and show their effectiveness. For high order discontinuous Galerkin methods standard multigrid approaches cannot be employed because of redundancy of the degrees of freedom associated to the same grid point. In this case we present suitable modifications of standard agglomeration procedures and present new approaches, which are tested on extensive numerical experiments.

In questa tesi verrà studiata una famiglia di solutori "algebraic multigrid" per problemi ellittici discretizzati attraverso i metodi agli elementi finiti di Galerkin continui e discontinui. Il metodo "algebraic multigrid" è una tecnica iterativa per risolvere i sistemi lineari risultanti dalla discretizzazione di equazioni alle derivate parziali. Per i metodi agli elementi finiti di Galerkin continui verranno studiati i metodi "algebraic multigrid" classico e di "smoothed aggregation" e verrà mostrata la loro efficienza computazionale. Per i metodi di alto ordine agli elementi finiti di Galerkin discontinui non è possibile utilizzare approcci multigrid standard a causa della ridondanza del numero di gradi di libertà associati allo stesso punto di griglia. In questo caso verranno proposte opportune modifiche delle procedure standard di aggregazione e saranno studiati nuovi approcci, testati su numerosi esperimenti numerici.