Differenziazione automatica : teoria ed applicazioni in finanza

In this work it will be presented a set of mathematical tools used to achieve the derivative computation of a generic algorithm at machine precision level. The fundamental concept is called Algorithmic Differentiation, it is the application of the idea that every mathematical algorithm is a composition of elementary functions, furthermore, if all the elementary functions are differentiable, the derivative of the algorithm will be simply the composition of the derivative of the elementary functions. The two fundamental tools are the Forward Algorithmic Differentiation and the Adjoint Algorithmic Differentiation, both are the application of the chain rule at arithmetic level instead of at functional level. The Automatic Differentiation is the applications of this tecniques in the Computational World, instead of applying the Algorithmic Differentiation concepts by hand, the modern computational languages allows to implement this concepts directly, in order to achieve the derivatives computation in an automatic way, given the implementation, i.e. the mode, to evaluate it. After the explication of the classical approach for computing derivatives and the two new ideas, it will be presented some application of these tecniques to the Financial world, more precisly the Automatic Differentiation will be used to compute the derivatives of an objective function for a financial calibration problem in the Carr Madan framework, for a generic Levy process. After that, in chapter 9 it will be shown some application in a MonteCarlo framework, in order to achieve the computation of the sensitivities of the price of a financial derivatives with respect to their implicit risk factors. Banks must compute the sensitivities of their portfolios every day, since it imposed the Basel III Comitee for regulatory and risk management purpose. These portfolios can be very large and the computational work to compute those sensitivities can be huge. In these work we present some tecniques that can speed up the computation of those sensitivities. Since tipically the payoffs of Financial derivatives are not locally differentiable the application of the AD tools, in general, is not exactly straightforward. There will be presented three methods that, under certain conditions, are able to estimates the sensitivities of some kind of options. In the same chapter it will be presented a new method called "Vibrato Saltando Montecarlo Method", that is the generalization of one the previous methods to a more general type of Stochastic Process.

In questo lavoro verr a presentato un insieme di strumenti matematici utilizzati per ottenere il calcolo delle derivate di un algoritmo generico con precisione a livello dell'epsilon macchina. Il concetto fondamentale e chiamato Di erenziazione Algoritmica, e l'applicazione dell'idea che ogni algoritmo matematico sia una composizione di funzioni elementari, inoltre, se tutte le funzioni elementari sono di erenziabili, la derivata dell'algoritmo sar a semplicemente la composizione delle funzioni elementari utilizzate al suo interno. I due strumenti fondamentali sono la di erenziazione algoritmica Forward e la differenziazione algoritmica Aggiunta, entrambe sono il risultato dell'applicazione della chain rule a livello aritmetico, invece che a livello funzionale. La di erenziazione automatica e l'applicazione di queste tecniche nel mondo computazionale; infatti anzich e applicare manualmente i concetti di di erenziazione algoritmica, i moderni linguaggi di programmazione permettono di implementare direttamente questi concetti, al ne di ottenere il calcolo delle derivate in modo automatico. Il mio contributo all'interno della Tesi e la generalizzazione dei concetti della di erenziazione automatica per funzioni a valori di tipo complesso, l'applicazione di tale generalizzazione per un problema di calibrazione; inoltre viene scoperto, presentato e nominato un nuovo metodo numerico per il calcolo di sensitivities tramite metodi di Montecarlo, che generalizza uno dei metodi presentati da Giles[6] per una tipologia pi u generale di processi. All'interno dell'elaborato, dopo la presentazione delle tecniche classiche di di erenziazione e delle due nuove tecniche, verr a mostrata l'applicazione della di erenziazione automatica ad un problema di calibrazione in ambito nanziario utilizzando l'algoritmo della Trasformata di Fourier Veloce. Successivamente verr a mostrata l'applicazione della di erenziazione automatica per il calcolo delle sensitivities di Opzioni Finanziarie tramite metodi di Montecarlo; le banche, a causa dei regolamenti imposti dal comitato di Basilea III, hanno la necessit a di calcolare le sensitivities dei propri portafogli rispetto ai fattori di rischio impliciti. Tali portafogli possono contenere un numero elevato di strumenti nanziari al proprio interno, e ci o rende il calcolo delle sensitivities un processo computazionalmente oneroso. Tuttavia, dato che i prodotti nanziari non godono di payo regolare, l'applicazione della di erenziazione automatica non risulta garantita.