Formula approssimata per la valutazione di opzioni a barriera singola per modelli a volatilità locale

The following work is focused on the pricing of single barrier options under the hypothesis that the underlying is described by constant and/or local volatility models. We take into consideration three models: Black&Scholes, Constant Elasticity of Variance (CEV) and a more general non-linear volatility model. In particular, we study down-and-in options and we compute their price in two different ways: an approximation formula and the Monte Carlo method with Brownian Bridge technique, which is used as benchmark. Indeed, it will be proved that every option of this kind can be priced, approximatively, by a combination of three standard European options, two of them with symmetrized volatility function. This approximation leads to results with a good level of accuracy and it allows having execution times much smaller with respect to the usage of Monte Carlo simulations.

Il seguente elaborato è incentrato sul pricing di opzioni a barriera singola sotto l'ipotesi che il sottostante sia descritto da modelli a volatilità costante e/o locale. A tal riguardo vengono esaminati tre modelli: Black&Scholes, Constant Elasticity of Variance (CEV) e un più generico modello a volatilità non lineare. In particolare vengono studiate opzioni barriera del tipo down-and-in, il cui prezzo è calcolato con due diversi metodi: una formula approssimata e la tecnica del Brownian Bridge Monte Carlo, utilizzata come benchmark. Viene infatti mostrato che ogni opzione di questo genere può essere prezzata, in modo approssimato, grazie ad una combinazione di tre opzioni Europee standard, due delle quali con funzione di volatilità simmetrizzata. L'impiego di tale approssimazione conduce a risultati con un buon livello di accuratezza e permette di avere tempi di esecuzione molto più bassi rispetto all'utilizzo delle simulazioni Monte Carlo.