Mathematical modelling of avascular tumour growth : travelling wave analysis and numerical simulations

A common approach to many mathematical models of the avascular phase of solid tumour growth and dynamics is the description of the system using partial differential equations. This includes studying the existence of travelling wave solutions and developing numerical simulations in one or more spatial dimensions. At this stage of its growth, the tumour mass is composed of an inner section of necrotic and quiescent cells and an outer thin rim of proliferating cells, and a good mathematical model should be able to reproduce this basic structure. Inspired by this, the present study aims to study the dynamic of proliferating and quiescent cells, of extracellular matrix and oxygen in the avascular phase, including some important phenomena, such as chemotaxis and haptotaxis. The model reads as a system of four partial differential equations. From the mathematical analysis carried out, we show that travelling wave solutions exist for the model without haptotaxis and chemotaxis, and there are two possible shapes of travelling waves. Furthermore, we present some numerical simulations of the model with and without haptotaxis and chemotaxis, employing the centered finite difference scheme in space and BDF in time. To conclude, this work proposes a simple model for the tumour system, we prove the existence of travelling wave solutions in a simplified form, depicting their main properties, and we perform numerical simulations for the whole system.

L’approccio comune a molti modelli matematici usati per studiare la fase avascolare dello sviluppo di un tumore solido è la descrizione del sistema mediante equazioni differenziali a derivate parziali. Lo studio di questi problemi comprende la ricerca di soluzioni di tipo onda viaggiante e la risoluzione numerica delle equazioni corrispondenti in una o più dimensioni spaziali. Nella fase avascolare, la massa tumorale è formata da un nucleo interno di cellule necrotiche e quiescenti e da uno strato più esterno di cellule proliferanti; un buon modello matematico dovrebbe essere in grado di riprodurre questa semplice struttura. Queste osservazioni hanno ispirato il presente lavoro di tesi, il cui obiettivo è elaborare e analizzare un modello che studi la dinamica delle cellule proliferanti e quiescenti, della matrice extracellulare e dell’ossigeno in fase avascolare, rappresentando in modo biologicamente accurato fenomeni importanti, come la chemotassi e l’aptotassi. Il modello sviluppato è un sistema di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali. L’analisi matematica mostra che in assenza di chemotassi e aptotassi esistono due possibili forme di soluzioni di tipo onda viaggiante. Nella seconda parte della tesi vengono presentate diverse simulazioni numeriche del modello con o senza aptotassi e chemotassi, utilizzando il metodo delle differenze finite centrate in spazio e BDF in tempo. In conclusione, questo lavoro conferma l’esistenza di soluzioni di tipo onda viaggiante in un modello tumorale nuovo semplice, che tuttavia cattura gli elementi principali del sistema, e sviluppa simulazioni numeriche per il modello completo.