Asset allocation con processi jump-diffusion

In this paper it is examined the portfolio optimization problem, in continuous time, of an investor with a constant risk aversion coefficient, that maximize the expected utility of his final wealth (Merton's problem). One of the greatest limits of the model proposed by Merton is the dynamics considered for the risky assets. A Black&Scholes dynamics, in fact, doesn't take care about the risk that the asset price may undergoes great variations in brief time's instants. For surmounting this problem, Lévy's processes jump-diffusion-like are taken in examination. These dynamics, although describing more realistically the behaviour of financial titles, get the search for a general problem's solution, in closed form, a lot difficult to find. Because of that, it will be proposed an approximated solution which replace a compensation's diffusive term to jumps. Once determined the approximated problem's solution, limits for the real optimum strategy will be found and RWEL's method (relative wealth equivalent loss) will be analyzed, to evaluate the goodness of itself. With this index, in conclusion, considerations about the importance of jumps in asset allocation problems will be made.

In questo lavoro si considera il problema di ottimizzazione di portafoglio in tempo continuo di un investitore con coefficiente di avversione al rischio costante, che massimizza l’utilità attesa della sua ricchezza finale (problema di Merton). Uno dei grandi limiti del modello proposto da Merton è la dinamica che viene considerata per quanto riguarda il titolo rischioso. Una dinamica alla Black e Scholes, infatti, non tiene conto del rischio che il prezzo del titolo possa subire grandi variazioni in brevi istanti temporali. Per far fronte a questo problema, in seguito, vengono considerati processi di Lévy di tipo jumpdiffusion. Queste dinamiche, sebbene descrivano più realisticamente il comportamento dei titoli finanziari, rendono la ricerca di una soluzione del problema generale, in forma chiusa, assai difficile. Alla luce di ciò verrà quindi proposta una soluzione approssimata che sostituisce ai salti un termine diffusivo di compensazione. Una volta individuata la soluzione del problema approssimato, si troveranno limiti per la strategia ottima reale e si analizzerà il RWEL (relative wealth equivalent loss) di questo metodo, per capire la bontà dello stesso. Attraverso questo indice, verranno infine fatte considerazioni sull’importanza dei salti nei problemi di asset allocation.