Mathematical analysis of some diffuse interface models for binary fluids

The subject of this dissertation is the mathematical analysis of some diffuse interface models which arise in the realm of Fluid Dynamics to describe the motion of two globally immiscible, incompressible and viscous fluids. Depending on the interplay between inertial and viscous forces, we consider two classes of equations governing the velocity field, known in literature as: - the model H, - the Hele-Shaw approximation. The interface separating two fluids is assumed to be a region with non-zero thickness. Over this interfacial region the surface tension (also called Korteweg stress) is distributed. In these models a crucial role is played by the choice of the free energy. In the first part of this contribution we study local models originating from the Ginzburg-Landau free energy. In the second part we consider nonlocal models related to the Helmholtz free energy taking more general long-range interactions into account. Both of them penalize concentration variations. This twofold choice is motivated by the classical literature and leads to different Cahn-Hilliard type equations for the order parameter. The common denominator throughout our investigation is the presence of the physically relevant free energy density which consists of a logarithmic function. The main advantage is the possibility to show the existence of a physical solution, meaning that the order parameter (i.e. the difference of concentrations) is forced to take physically admissible values. Thus, the order parameter maintains its original meaning. On the other hand, the study of such logarithmic potential requires non-classical mathematical methods. Indeed, by virtue of the different behaviour between the logarithmic potential and its derivatives close to the singular points, high order estimates involving the order parameter are hard to get. The main results herein concern the uniqueness and regularity of weak solutions as well as the existence of strong solutions. Particular attention is given to the so-called separation property. The latter means that, if the initial datum is not a pure phase, then the order parameter eventually stays away from the pure states with a uniform in time displacement. In the two dimensional setting, we present two different methods in order to handle local or nonlocal models leading to the instantaneous separation property, namely the separation occurs for any positive time with a parameter depending (explicitly) only on the initial energy value and the total mass of the initial datum. As an interesting application of the regularity properties, we discuss the asymptotic behaviour of solutions. Let us now describe a summary of the main results contained in this thesis. First, the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard-Oono system is studied in dimension two. This model is a generalization of the classical model H accounting for (reversible) chemical reactions. We show the uniqueness and the instantaneous regularization of weak solutions as well as the validity of the separation property. The latter has been obtained by combining high order Sobolev estimates with a regularity theory for an elliptic problem with logarithmic nonlinear term, for which the Trudinger-Moser inequality plays an essential role. The same result also goes for the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system. The Hele-Shaw-Cahn-Hilliard system is analyzed in both two and three dimensions. We first prove the existence of a global weak solution. Then, in dimension two we demonstrate the uniqueness of weak solutions, their regularity propagation in time and the separation property. Instead, in dimension three we show the global existence of strong solution provided that the initial datum is regular enough and sufficiently close to any local minimizer of the Gindzburg-Landau free energy. We also investigate the Brinkman-Cahn-Hilliard system in dimension two. In particular, we address the unmatched viscosities case. We show the existence and uniqueness of weak solutions, their regularity properties and the separation property. Next, we study the nonlocal model H. First, we provide a comprehensive analysis of the nonlocal Cahn-Hilliard equation. In particular, we introduce a novel technique for the separation property which differs from the one employed in the local case. The proposed argument is base on an Alikakos-Moser iteration argument combined with the Trudinger-Moser inequality. Then, the analysis has been extended to the nonlocal Navier--Stokes--Cahn--Hilliard system is studied in dimension two. Finally, the nonlocal Hele-Shaw-Cahn-Hilliard system is considered in two and three space dimensions. In both cases we show existence of weak solutions, uniqueness, existence of strong solutions and their regularity properties.

L'argomento di questa tesi è l'analisi matematica di alcuni modelli ad interfaccia diffusa che sorgono nel campo della fluidodinamica per descrivere il movimento di due fluidi globalmente immiscibili, incomprimibili e viscosi. A seconda dell'interazione tra le forze inerziali e quelle viscose, consideriamo due classi di equazioni che governano il campo di velocità, note in letteratura come: - il modello H, - l'approssimazione di Hele-Shaw. Si assume che l'interfaccia che separa i due fluidi sia una regione con spessore diverso da zero. Su questa regione viene distribuita la tensione superficiale (chiamata anche forza di Korteweg). In questi modelli, un ruolo cruciale è giocato dalla scelta dell'energia libera. Nella prima parte di questo contributo studiamo modelli locali che derivano dall'energia libera di tipo Ginzburg-Landau. Nella seconda parte consideriamo modelli non locali relativi all'energia libera di Helmholtz, prendendo in considerazione interazioni a lungo raggio. Entrambi i funzionali penalizzano le variazioni di concentrazione. Questa duplice scelta è motivata dalla letteratura classica e conduce a diverse equazioni di tipo Cahn-Hilliard per il parametro d’ordine. Il denominatore comune nella nostra indagine è la presenza della densità di energia libera fisicamente rilevante che consiste in una funzione logaritmica. Il vantaggio principale è la possibilità di mostrare l'esistenza di una soluzione fisica, questo significa che il parametro d'ordine (cioè la differenza delle concentrazioni) assume valori fisicamente ammissibili. Pertanto, il parametro d'ordine mantiene il suo significato originale. D'altra parte, lo studio di tale potenziale logaritmico richiede metodi matematici non classici. Infatti, in virtù del diverso comportamento del potenziale logaritmico e le sue derivate nell’intorno dei punti singolari, è difficile ottenere stime di ordine elevato che coinvolgono il parametro d’ordine. I principali risultati riguardano l'unicità e la regolarità delle soluzioni deboli nonché l'esistenza di soluzioni forti. Particolare attenzione viene data alla cosiddetta proprietà di separazione. Quest'ultima significa che, se il dato iniziale non è una fase pura, il parametro d'ordine rimane definitivamente discosto dagli stati puri con uno spostamento uniforme nel tempo. Nel caso bidimensionale, presentiamo due metodi diversi per gestire modelli locali o non locali che portano alla proprietà di separazione istantanea, ovvero la separazione si verifica per qualsiasi istante positivo con un parametro dipendente (esplicitamente) dal valore dell'energia iniziale e dalla massa totale del dato iniziale. Come interessante applicazione delle proprietà di regolarità, discutiamo il comportamento asintotico delle soluzioni. Descriviamo ora una sintesi dei principali risultati contenuti in questa tesi. Innanzitutto, il sistema di Navier-Stokes-Cahn-Hilliard-Oono è studiato in dimensione due. Questo modello è una generalizzazione del classico modello H che tiene conto di reazioni chimiche (reversibili). Dimostriamo l'unicità e la regolarizzazione istantanea di soluzioni deboli, nonché la validità della proprietà di separazione. Quest'ultima è stata ottenuta combinando stime di Sobolev di alto ordine con una teoria della regolarità per un problema ellittico con un termine logaritmico non lineare, per il quale la disuguaglianza di Trudinger-Moser gioca un ruolo essenziale. Lo stesso risultato vale anche per il sistema Navier-Stokes-Cahn-Hilliard. Il sistema Hele-Shaw-Cahn-Hilliard viene analizzato sia in due che in tre dimensioni. Per prima cosa proviamo l'esistenza di una soluzione globale debole. Quindi, in dimensione due dimostriamo l'unicità delle soluzioni deboli, la propagazione di regolarità nel tempo e la proprietà di separazione. Invece, in dimensione tre mostriamo l'esistenza globale di una soluzione forte a condizione che il dato iniziale sia abbastanza regolare e sufficientemente vicino a un qualsiasi minimo locale dell'energia libera di Gindzburg-Landau. Indaghiamo anche il sistema Brinkman-Cahn-Hilliard in dimensione due. In particolare, affrontiamo il caso delle viscosità diverse. Mostriamo l'esistenza e l'unicità delle soluzioni deboli, le loro proprietà di regolarità e la proprietà di separazione. Successivamente, studiamo il modello H non locale. Innanzitutto, forniamo un'analisi completa dell'equazione di Cahn-Hilliard non locale. In particolare, introduciamo una nuova tecnica per la proprietà di separazione che differisce da quella impiegata nel caso locale. L'argomento proposto è basato su un argomento di iterazione di tipo Alikakos-Moser combinato con la disuguaglianza di Trudinger-Moser. Quindi, l'analisi è stata estesa al sistema di Navier-Stokes-Cahn-Hilliard non locale in dimensione due. Infine, il sistema di Hele-Shaw-Cahn-Hilliard non locale è considerato in due e tre dimensioni spaziali. In entrambi i casi mostriamo esistenza di soluzioni deboli, unicità, esistenza di soluzioni forti e loro proprietà di regolarità.