The problem of ranking players: from semivalues to games with abstention

In this thesis we analyse the problems of evaluating the power of players in different voting situations and of creating a ranking among them. We start our analysis in the classical set of cooperative game theory. We present a theorem to characterize the family of semivalues, a class of solution concepts, by means of their behaviour on unanimity games and to establish a connection between semivalues and completely monotonic sequences. Then, we provide a new formula to compute the Shapley value due to a different interpretation of the value that is particularly meaningful in the voting context. Secondly, we examine the model of games with abstention. We introduce some properties for the indices for games with abstention and generalize to this set some of the properties that have been provided in literature to characterize the corresponding power indices for simple games. We use these results to provide two different axiomatizations for the Banzhaf index for games with abstention and a characterization of the Shapley-Shubik index for games with abstention. We then focus on multichoice cooperative games, an extension of the classical model of cooperative games, to describe situations in which players can have different levels of participation in the cooperation (or they have to vote among different alternatives). We analyse and compare the different models studied in literature and we define a new value for multichoice cooperative games in the spirit of the Shapley value. As a consequence of our result, we provide an explicit formula to compute the Shapley-Shubik index for games with abstention. In the last part of the thesis, we consider the problem of ranking players from a new perspective: we remove the structure of coalitional game and suppose that only an ordinal ranking among players is available. We present two functions that associate a ranking over the players, given a preference profile over the subsets formed by those players. We also provide an axiomatic characterization of these two functions by means of a set of axioms we introduce and discuss.

Questa tesi si occupa di studiare il problema di creare ordinamenti tra i giocatori, sia utilizzando gli indici di potere all'interno di un gioco cooperativo, sia affrontando il problema da un punto di vista più generale. I primi risultati ottenuti sono nell'ambito classico della teoria dei giochi cooperativi. Viene presentato un teorema che caratterizza i semivalues, una famiglia di soluzioni per i giochi cooperativi, descrivendo il loro comportamento sui giochi di unanimità e stabilendo un collegamento tra i semivalues e le successioni completamente monotone. In seguito, viene presentata una nuova formula per calcolare l'indice di Shapley, che è dedotta da una diversa interpretazione di questo indice, particolarmente significativa nel contesto delle situazioni di voto. Come secondo argomento, vengono esaminati i modelli di giochi con astensione. Vengono introdotti alcuni nuovi assiomi e generalizzate alcune delle proprietà presenti in letteratura per caratterizzare gli indici di potere. Questo permette di dimostrare due diverse assiomatizzazioni per l'indice di Banzhaf per i giochi con astensione e una caratterizzazione dell'indice di Shapley-Shubik per i giochi con astensione. Successivamente, si sposta l'attenzione sul modello dei giochi multichoice, un ampliamento del modello classico di gioco cooperativo per permettere ai giocatori di cooperare a diversi livelli (o di votare tra diverse alternative). I diversi modelli presenti in letteratura vengono confrontati tra loro, dopodiché viene definito un nuovo valore, come concetto di soluzione per i giochi multichoice, in linea con lo spirito della definizione indice di Shapley. Come conseguenza di questo risultato, si ottiene una formula per calcolare esplicitamente l'indice di Shapley-Shubik per i giochi con astensione. Infine, nell'ultima parte della tesi, il problema di ordinare i giocatori è affrontato da una prospettiva diversa: la struttura di gioco cooperativo viene rimossa e si suppone che ci sia a disposizione solo un ordine qualitativo tra i giocatori. In questo contesto vengono definite due funzioni che creano un ordinamento dei giocatori a partire da un ordinamento dei sottoinsiemi dei giocatori stessi. Inoltre vengono introdotti e discussi alcune proprietà utilizzate successivamente per fornire una caratterizzazione assiomatica di queste due funzioni.