Lower and upper bounds for basket options

Multidimensional problems represent a great issue in the financial industry and an interesting research area in academy. In this thesis we tackle two different multidimensional problems related to Basket Options: the first is the pricing and hedging European Basket Options in Equity markets and the second is related to the pricing of illiquid corporate Bonds. This first part of the thesis is divided as follows. In Chapter 1, after introducing the notation, we define the Lower and Upper Bound and related optimization problems. We also discuss the relations of such bounds with the literature. Chapter 2 is devoted to an analytical study of the two optimization problems. We show that both Upper and Lower II Bounds global and local minima are in relation with the matrix that describes the assets’ correlation which characterizes the constraint geometry. In particular we show that the columns of such matrix play a relevant role. We also compare the performance of the optimal bounds with the literature via numerical examples. In Chapter 3 we develop a new algorithm for the numerical computation of the optimal Upper and Lower Bounds. We discuss the numerical issues presented by the optimization problems and we describe in detail the implementation of the algorithm proposed. The performance of such algorithm is then compared with GA of Matlab with numerical examples. The second part of the thesis is devoted to study the problem of pricing a corporate illiquid coupon bond in a defaultable setting assuming an Hull and White dynamic for the Zero Rates. In particular in Chapter 4 we show that the price of such an illiquid Bond is related to a Lookback Basket Option and can be evaluated via a Lower Bound and an Upper Bound technique. We also show that, for all practical purposes, these two Bounds coincide and show two examples in the European market.

I problemi multidimensionali rappresentano una grande problematica nel settore finanziario e duna interessante area di ricerca in accademia. Nella presente tesi vengono affrontati due problemi multidimensionali legati alle opzioni Basket: il primo è la valutazione di prezzi e coperture di opzioni Basket, mentre il secondo è legato alla valutazione di obbligazioni societarie illiquide. La prima parte della tesi è divisa nel seguente modo. Nel capitolo 1, dopo aver introdotto la notazione, vengono definiti dei limiti superiori e inferiori al prezzo e i problemi di ottimizzazione che ne derivano. Vengono inoltre discussi i legami con la letterature esistente. Nel capitolo 2 tali problemi di ottimizzazione vengono studiati analiticamente. Viene mostrato, sia per il limite superiore che per quello inferiore, gli estremi globali e locali sono legati alla matrice di correlazione tra gli asset la quale caratterizza la geometria dei problemi. Nello specifico viene mostrato che le colonne di tale matrice giocano un ruolo fondamentale. Infine la bontà delle approssimazioni proposte è confrontata con la letteratura. Nel capitolo 3 viene sviluppato un algoritmo per la soluzione numerica dei problemi di ottimizzazione. Vengono discussi i problemi numerici e il dettaglio dell'implementazione di tale procedura. Inoltre la performance dell'algoritmo proposto viene provata contro GA di Matlab. La seconda parte della tesi riguarda il problema della valutazione di obbligazioni societarie illiquide in un modello dafaultable assumendo una dinamica di tipo Hull e White per gli Zero rates. Nello specifico nel capitolo 4 viene mostrato che il prezzo di tali obbligazioni è legato alla valutazione di un'opzione di tipo Lookback su Basket e può essere valutata utilizzando limiti superiori e inferiori. Inoltre viene mostrato che, a fini pratici, i due limiti sono sostanzialmente coincidenti fornendo due esempi nel mercato Europeo.