An expectile-based approach to portfolio optimization

This thesis presents the expectile, a statistical functional that has recently attracted the attention of researchers in the area of risk management, as it is the only risk measure which is both coherent and elicitable. The work is focused on analysing the applications to portfolio management. In particular, the expectile optimization is compared against the classic Markovitz method and the CVaR one, a recent and highly discussed optimization method for portfolio optimization. A case study for the portfolio of Euro Stoxx 50 stocks is performed to demonstrate how the different optimization techniques can be implemented and to evaluate their performances. The resulting outcomes of the methods are presented, compared and discussed in order to assess which model performs the best and under what circumstances. The biggest contributions of this piece of work are the study of portfolio expectile optimization with asset returns modelled by a Student's t copula with asymmetric marginal distributions and the extension of the linear programming formulations of the expectile optimization. The statistical modelling of the returns addresses the non-normality issues in the asset returns, protecting the investor from statistical uncertainties and avoids great losses from market downturns. The general conclusion is that portfolio optimization with expectile is advantageous over Markovitz and CVaR optimizations when returns are modelled with such an asymmetric distribution. The remainder of the paper is laid out as follows. Chapter 1 is an introduction to this thesis project. It contains a brief overview on the academic research on the expectile and explains the ideas and motivations that inspired the work. Next, chapter 2 introduces the concept of expectile and shows that is a coherent and elicitable risk measure. The chapter also proves that the expectile is the only coherent and elicitable risk measure and explains why the elicitability property is desirable for a risk measure and finally, it mentions some properties that make the expectile interesting for an application in asset management. Chapter 3 is an introduction to asset management. It presents the first model that was introduced to optimize a portfolio with regards to risk: the Markovitz model, which aims to reduce the portfolio variance. The chapter shows the Markovitz solution that will be considered as a benchmark to the expectile one and explains the criticalities of the Markovitz approach, giving the motivations for the next models that will be considered. In chapter 4 it is described the Rockafellar and Uryasev model, a very popular portfolio optimization method which optimizes the portfolio CVaR and, due to its similarities with the expectile approach, will be investigated in the numerical analysis chapter. The chapter presents a linear programming formulation and ends showing that the Markowitz model and Rockafellar and Uryasev model lead to the same optimal portfolio under an ellipticity assumption on the returns distribution. Next, chapter 5 introduces the expectile optimization. It starts by proving that the expectile solution and the Markovitz one coincide if the returns are elliptically distributed. Then, three different linear programming formulations for the expectile optimization are derived, and it is explained how the different methods may increase the computation efficiency of the method. Chapter 6 is devoted to the statistical modelling of the asset returns. It identifies the non-normality in the data and then develops methods to accurately model it. In particular, it starts by correcting the serial correlation of the returns. Then, to better model the kurtosis and skewness phenomenons, it presents a semi parametric distribution fitted dividing the entire distribution into three parts: left tail, centre and right tail. The chapter continues deriving a closed formula for the entire resulting distribution, named semi-parametric Generalized Pareto Distribution. Then, the chapter analyses the correlation breakdown in periods of market stress and models this events through the use of the copula theory. The chapter concludes explaining the algorithm through which the returns, modelled in such a way, are simulated. The chapter 7 draws the conclusions on the different methods by evaluating their performances. It compares the computation times of the three different linear programming formulations for the expectile optimization, showing that the last formulation, the most difficult to derive, guarantees an enormous speed up. Then, it studies the numerical convergence of the solution as a function of the sample size. Finally, the expectile, the Markovitz and the CVaR methods are compared with the introduction of portfolio performances measures. It is also performed a stressed scenario analysis to see which method is the most robust and resilient during market crashes. Finally, chapter 8 states the conclusion of the work and suggests topics for further research on the subject. The original contributions of the thesis are the following. To the best knowledge of the author, this thesis is the first work that: evaluates the expectile optimization performances from an asset allocation point of view and presents and compares the expectile, CVaR and Markovitz methods pointing out pros and cons of each method. This work is also an extension of the paper by Jakobsons, as it changes all the formulations stated by Jakobsons, in order to guarantee a minimum return to the investor. Furthermore, the thesis shows how the Jakobsons modelling of the returns with Gaussian and Student's t distribution can be faulty, as it leads to underestimation of the downturn risk. Instead, the returns have been modelled through a semi-parametric Generalized Pareto Distribution with dependence induced by a Student's t copula, whose expression was been derived independently by the author. Finally, all the plots and tables were reproduced independently and all the numerical procedures were written by the author using Matlab.

Questo progetto di tesi presenta l’espettile, un funzionale statistico che recentemente ha attirato l’attenzione dei ricercatori nell’ambito del risk management in quanto è l’unica misura di rischio coerente ed elicitabile. La tesi ne analizza le applicazioni all’ottimizzazione di portafoglio. In particolare, l’ottimizzazione con l’espettile è confrontata con quella di Markovitz e con quella del CVaR, un altro metodo recente e molto discusso in letteratura. Viene effettuato un case study sull'Euro Stoxx 50 per analizzare l’implementazione e le performance delle diverse tecniche di ottimizzazione. I risultati dell’analisi sono presentati, confrontati e discussi al fine di capire quale metodo è il migliore e sotto che circostanze. L’originalità della tesi sta nello studiare l’ottimizzazione con l’espettile nel caso in cui i rendimenti dei titoli sono modellati con una particolare distribuzione asimmetrica con dipendenza indotta da una copula t di Student e nelle nuove formulazioni lineari dell’ottimizzazione con espettile. Dal punto di vista statistico, il nuovo modello per i rendimenti è finalizzato a risolvere i problemi di non normalità, al fine di proteggere l’investitore da incertezze modellistiche e da perdite dovute a cali bruschi del mercato. La conclusione generale è che, sotto tutte le ipotesi fatte per i rendimenti, l’ottimizzazione di portafoglio con l’espettile è più vantaggiosa rispetto a quella di Markovtiz e del CVaR. Il resto del lavoro è strutturato nel seguente modo. Il capitolo 1 è l’introduzione, consiste in un rapido riassunto del dibattito accademico sull’espettile e presenta le idee che hanno ispirato la tesi. Il capitolo 2 definisce l’espettile e dimostra che è una misura di rischio coerente ed elicitabile. Viene anche dimostrato che l’espettile è l’unica misura di rischio coerente ed elicitabile e viene spiegata l’importanza del concetto di elicitabilità. Il capitolo finisce elencando alcune proprietà che rendono l’espettile interessante dal punto di vista dell’asset management. Il capitolo 3 è interamente dedicato all’introduzione dell’asset management. Viene presentato il modello di Markovitz: un modello storico che costruisce un portafoglio ottimizzato minimizzandone il rischio inteso come la varianza del rendimento del portafoglio. Il capitolo mostra come l’approccio di Markovitz possa essere considerato un punto di riferimento per un futuro confronto con l’espettile e spiega anche tutte le criticità e le ipotesi troppo semplicistiche di Markovitz, dando le motivazioni per introdurre i nuovi modelli che verranno presentati in seguito. Nel capitolo 4 viene descritto il modello di Rockafellar e Uryasev, un metodo di ottimizzazione di portafoglio molto famoso in letteratura che si basa sul CVaR e che, date le somiglianze con il metodo dell’espettile, verrà analizzato nel penultimo capitolo di analisi numerica. Il capitolo presenta la formulazione lineare del problema di minimizzazione e mostra che le soluzioni di Markovitz e di Rockafellar e Uryasev coincidono sotto l’ipotesi di ellitticità della distribuzione dei rendimenti dei titoli. Dopodiché, nel capitolo 5 viene introdotta l’ottimizzazione con l’espettile. Il capitolo inizia dimostrando che, anche in questo caso, la soluzione coincide con quella di Markovtiz sotto l’ipotesi che i rendimenti sono ellitticamente distribuiti. Vengono poi formulati tre problemi lineari per l’ottimizzazione con l’espettile e viene spiegato come questi tre diversi metodi possono velocizzare il calcolo della soluzione. Il capitolo 6 descrive la modellizzazione statistica dei rendimenti. Vengono identificati i problemi e gli effetti della non-normalità nei dati e vengono presentati dei metodi per modellizzarli correttamente. In particolare, viene corretta la correlazione seriale dei rendimenti, poi per modellizzare correttamente i fenomeni di curtosi e di asimmetria viene utilizzata una distribuzione semi parametrica costruita dividendo e modellizzando singolarmente tre parti della distribuzione: coda sinistra, centro e coda destra. Il capitolo continua ricavando l’espressione matematica per la distribuzione risultante, chiamata Generalized Pareto Distribution semi parametrica. Poi, viene analizzato il fenomeno della correlazione che non si mantiene costante durante tutto il periodo di osservazione e viene implementata un Student-t copula per tenerne conto. Il capitolo finisce spiegando l’algoritmo attraverso il quale i rendimenti, modellizzati in questo modo, vengono simulati. Il capitolo 7 trae le conclusioni sui diversi metodi descritti in precedenza valutandone le rispettive performances. Confronta i tempi computazionali delle tre diverse formulazioni lineari per l’ottimizzazione con l’espettile, mostrando che l’ultima formulazione, la più difficile da ottenere, garantisce un grande incremento di velocità. Dopo, viene studiata la convergenza numerica della soluzione con l’espettile. Vengono poi confrontati i tre modelli di Markovitz,CVaR e espettile attraverso l’introduzione di misure di performance di portafogli. Viene anche condotto uno stress test al fine di capire quale metodo è più resiliente e robusto durante periodi di crash del mercato. Infine, il capitolo 8 riassume le conclusioni tratte ed elenca alcuni punti di partenza per nuovi sviluppi sull’argomento. I contributi originali della tesi sono le seguenti. Per quanto ne sa l’autore, questa tesi è il primo lavoro che: analizza le performance dell’ottimizzazione con espettile dal punto di vista dell’asset management e che presenta e confronta i metodi con l’espettile, il CVaR e di Markvoitz in maniera unificata presentando pro e contro di ogni metodo. Questo lavoro è anche un’estensione dell’articolo di Jakobsons, in quanto cambia le formulazioni lineari da lui introdotte al fine di garantire un rendimento minimo all’investitore. Inoltre, questa tesi dimostra anche come la modellizzazione di Jakobsons dei rendimenti con distribuzioni Gaussiane e t di Student può rivelarsi inefficace e condurre a sottostime del rischio. Invece, i rendimenti sono stati modellizzati con una Generalized Pareto Distribution semi parametrica, la cui espressione è stata ricavata indipendentemente dall’autore. Infine, tutti i grafici e le tabelle sono stati generati indipendentemente e tutte le procedure numeriche sono state implementate dall’autore usando Matlab.