Optimal liquidation portfolio problem : an alternative numerical approach

In this thesis the optimal portfolio liquidation problem has been studied. In particular, the problem faced by traders regarding how to liquidate large block orders of shares. There are two main strategies that can be adopted and the difference is related to the execution trade velocity: one can choose to trade quickly, but in this case the investor should have higher costs due to the market impact, or alternatively one can gradually trade over time, but the investor is more affected by the risks. In this thesis the model considered is the one that has been introduced by I.Kharroubi and H.Pham (2010) that is studied over a finite period in a limit order book with bid-ask spread. The model also has the characteristic to penalize, using the temporary market prices impact, the velocity in execution trades. This type of model is a real example since it is based on trades that are continuous in time. The aim is to merge the calculus stochastic theory with the realistic modeling of portfolio liquidation. In particular, the investor assumes a relaxed position at the beginning and then he wants to maximize his expected utility from terminal liquidation wealth, and under a natural economic solvency constraint involving the liquidation value of a portfolio. The thesis is organized in the following manner. In the first chapter the basic notions related to the calculus stochastic theory are defined and the optimization stochastic problem is introduces. In the chapter 2 some financial concepts are introduced in order to understand the analysis done in the next chapters. In the chapter 3 the model is presented with its properties and here the impulse control problem is studied via dynamic programming principle and the associated quasi-variational inequality (QVI). The value function is characterized as the minimal constrained viscosity solution to its dynamic programming QVI. In the next chapter the same model is presented but taking into account the transaction fees. Moreover, since our aim is to solve numerically the optimal problem, a numerical scheme is introduced to solve the QVI. After an initial mathematical analysis, a further numerical analysis is performed in the chapter 5. Here the construction of the algorithm is explained in details and also the numerical method used to compute the expected value of the value function called quantization method. The concept of quantization is presented in the final chapter 6 and in particular also its application in the numerical integration.

In questa tesi viene presentato il problema relativo all' ottimizzazione della liquidità del portafoglio. In particolare, si vuole investigare un problema affrontato dai traders ovvero in che modo liquidare un grande pacchetto di azioni. Principalmente si possono adottare due strategie legate alla velocità di negoziazione: si può scegliere di negoziare velocemente, ma in questo caso l'investitore avrebbe dei costi elevati dovuti all'impatto sul mercato oppure si adotta una negoziazione più graduale nel tempo in cui però l'investitore è più esposto al rischio. In questa tesi adottiamo come modello quello introdotto nel 2010 da I.Kharroubi e H.Pham aventi come caratteristiche quelle di studiare il problema su un orizzonte finito in cui il registro ordini è limitato con lo spread di compra-vendita e di penalizzare, sfruttando l'impatto dei prezzi di mercato temporanei, la velocità nell'esecuzione delle negoziazioni. Questo modello è un esempio reale perché si basa su negoziazioni che non avvengono continuamente nel tempo. L'obiettivo è quello di unire la teoria del calcolo stocastico con il modello realistico di liquidità del portafoglio. In particolare, l'investitore inizialmente adotta una posizione di relax per poi massimizzare l'utilità attesa dalla ricchezza finale di liquidazione e sotto un vincolo di solvibilità economica che coinvolge il valore di liquidazione di un portafoglio. La tesi è organizzata nel seguente modo. Nel capitolo 1 si definiscono le principali nozioni relative alla teoria del calcolo stocastico e si è introdotto brevemente il problema di ottimizzazione stocastica. Nel secondo capitolo vengono spiegati alcuni concetti riguardanti il mondo della finanza che serviranno per comprendere l'analisi successiva. Nel capitolo 3 viene presentato il modello di liquidità con tutte le sue proprietà e viene studiato il problema legato al controllo dell'impulso usando il dynamic programming principle e la disequazione quasi-variazionale (QVI) associata. Si dimostra che la funzione valore ha la caratteristica di essere la soluzione viscosa minima della sua QVI. Nel capitolo seguente viene presentato lo stesso modello ma tenendo conto anche delle commissioni di transazione. Inoltre, essendo il nostro obiettivo quello di risolvere numericamente questo problema di ottimizzazione, viene introdotto uno schema per risolvere equazioni di tipo QVI come quella associata al nostro problema. Dopo aver analizzato il modello dal punto di vista matematico nel capitolo 5 si è passati a quello numerico. Qui viene spiegato come è stato costruito l'algoritmo e il metodo di numerico utilizzato per calcolare il valore atteso della funzione valore chiamato metodo di quantizzazione. Questo verrà spiegato nel dettaglio nel capitolo successivo con anche la relativa applicazione all'integrazione numerica che è stata adottata nella nostra implementazione.