A posteriori analysis of topological model reduction error, with application to mass transport in microcirculation

Topological model reduction can decrease the high computational costs of simulations in many multiscale systems, especially applied to biology and geology, where small inclusions embedded in a 3D continuum can be described as one-dimensional (1D) concentrated sources. However, concentrated sources lead to singular solutions that still require computationally expensive graded meshes, due to the illposedness of restriction operators applied on manifolds with co-dimension larger than one. We apply topological model reduction to coupled transport problems applied to the microcirculation. In this framework, the a posteriori analysis of the error due to this model reduction is still unexplored. We propose a Dual-Weighted Residual estimator for the modeling error. The use of this technique is a first step for an adaptive method, able to optimally refine the grid where the error is larger. We build a suitable solver based on the C++ finite element library GetFEM++, able to simulate the transport of particles in a capillary network embedded in a permeable biological tissue, and afterwards compute the suitable estimators for the modeling error. The solver may be a valid support in the computational analysis of physical phenomena related to microcirculation, with possible applications to drug delivery for cancer treatment or to lymphatic clearance of the brain in neurodegenerative diseases.

L'applicazione di tecniche di riduzione di modello permette di ridurre gli alti costi computazionali delle simulazioni in problemi multi-scala, specialmente applicati alla biologia e alla geologia, dove piccole inclusioni all'interno di un mezzo continuo 3D possono essere descritte come sorgenti concentrate unidimensionali (1D). Purtroppo, usando sorgenti concentrate si ottengono soluzioni singolari che richiedono l'utilizzo di mesh computazionalmente molto costose, poiché gli operatori di restrizione applicati a varietà con co-dimensione maggiore di uno non sono ben definiti. Applichiamo tecniche di riduzione di modello a problemi accoppiati di trasporto nella microcircolazione. In questo contesto, l'analisi a posteriori dell'errore commesso nella riduzione di modello è ancora inesplorata. Proponiamo quindi uno stimatore di tipo Dual-Weighted Residual per l'errore di modello. L'uso di questa tecnica è un primo passo per costruire un metodo adattivo, capace di raffinare in maniera ottima la griglia laddove l'errore è maggiore. Costruiamo un risolutore numerico basato sulla libreria per elementi finiti GetFEM++, scritta in C++, capace di simulare il trasporto di particelle in una rete di capillari all'interno di un tessuto biologico permeabile, e successivamente di calcolare degli stimatori dell'errore di modello. Questo risolutore potrà essere un valido supporto per l'analisi computazionale dei fenomeni fisici legati alla microcircolazione, con possibili applicazioni al trasporto di farmaci per il trattamento di tumori o al drenaggio linfatico del cervello in malattie neurodegenerative.