Non-ideal steady supersonic flows

Compressible flows in the neighbourhood of the vapour-liquid saturation curve and critical point are found in many technical applications, including hybrid rocket engines, power cycles, natural gas extraction and pharmaceutical processes. Operating at such high densities entails phenomena that have no counterpart in the dilute, ideal-gas regime which is often assumed in the theory of gasdynamics. Examples are: the increase of the speed of sound in adiabatic expansions, the increase of the Mach number across oblique shock waves and its reduction along isentropic expansions, the admissibility of rarefaction shocks, the reflection of oblique shocks as Prandtl-Meyer fans. At the basis of these gasdynamic effects is the peculiar thermodynamic behaviour of the substance which cannot be properly modelled, neither quantitatively nor qualitatively, using the ideal gas law. To emphasise their non-ideal thermodynamic nature, effects such as those mentioned above are referred to as non-ideal effects. Progress in the field of Non-Ideal Compressible Fluid Dynamics (NICFD)–the branch of fluid mechanics devoted to the study of compressible flows whose behaviour deviates from that predicted by the ideal-gas model–will enable the improvement of existing industrial processes and machinery exploiting substances close to their critical point, as well as support the design of new ones. The contribution to NICFD given by the study documented herein is related to steady supersonic flows and in particular to those developing in confined geometries. In this context, a fundamental research question motivates the investigation: What are the physically admissible flow configurations in the non-ideal regime and how do they differ from those arising in ideal-gas flows? Also, what are the necessary conditions to observe a specific configuration, i.e. how is the flow field linked to the properties of the substance and the boundary conditions? These are key aspects in technical applications involving non-ideal supersonic flows and questions that this work will address. To achieve the research goal, a thorough theoretical analysis of steady supersonic flows in the non-ideal gasdynamic context is performed. Efforts concentrate on three main complementary areas: flows in converging-diverging nozzles, flows around compressive/rarefactive ramps, shock reflections and interactions. These are elementary building blocks of general internal supersonic flows. A fully non-linear analysis is carried out to complement and extend previous studies relying on asymptotic expansion theory or numerics. The converging-diverging nozzle is the prototype of a variable area duct, the flow past ramps exemplifies the abrupt deflection of a supersonic stream (of course important for external flows as well), performed, e.g., though a shock wave which will be reflected by an opposing wall or interact with another incident shock. It is assumed that thermoviscous effects can be neglected and thus that the flow can be fully described by the Euler equations coupled with the Rankine-Hugoniot relations at points of jump discontinuity. On the other hand, an arbitrary equation of state of the fluid is allowed. In particular, the usual constraints of classical gasdynamics on the curvature of the isentropes in the pressure–density or pressure–specific volume plane, which ultimately determines the qualitative evolution of the flow, are dropped. Flows in converging-diverging nozzle are studied using the quasi-one-dimensional approximation. A novel analytical approach sheds light on the connection between a general adiabatic flow field and the underlying local isentropic-flow features, including their qualitative change across shock waves. Isentropic flows are first classified to ease the construction and inspection of shocked flows, which are computed by means of shock-fitting techniques. The idea of functioning regime is introduced to analyse the response of the system to variations in the outlet pressure at fixed stagnation conditions at the nozzle inlet, i.e. fixed reservoir conditions, assuming the nozzle to be connected to an upstream reservoir. Extending previous results available in the scientific literature, ten different functioning regimes are singled out which include the ideal-gas-like scenario and nine non-ideal configurations. Key features of the non-ideal functioning regimes are the inclusion of rarefaction shocks to achieve arbitrarily large Mach numbers and the possibility of up to three shocks in nozzles with subsonic outflow. Then, the transition between the different classes of flow is investigated and ultimately a thermodynamic map of the reservoir conditions resulting in each functioning regime is produced. This map enables the identification of the thermodynamic region of interest for the observation of non-ideal nozzle flows. To investigate supersonic flows past ramps, a general theory of oblique waves, i.e. waves generating a deflection of the supersonic stream, is developed. The analysis of oblique waves is performed by resorting to the concept of wave curves. The wave curve is the set of downstream states connected to a given upstream state by means of an oblique wave. Inspection of the wave curve structure for different upstream states reveals that, in addition to the conventional configuration consisting of compression oblique shocks and expansion Prandtl-Meyer fans, non-ideal configurations exist which include rarefaction shocks, compression fans and composite waves (combinations of shocks and fans). The connection between the upstream state and the configuration of the wave curve is explained and depicted through the use of thermodynamic maps. Further research in the context of oblique waves concerns oblique shocks featuring a non-ideal increase of the Mach number, which are systematically examined providing necessary conditions for their occurrence, and the extension of the typical shock angle–deflection angle diagram of oblique shocks with an additional half-plane corresponding to Prandtl-Meyer fans. Then, the developed theory of oblique waves is applied to the investigation of shock reflections and interactions in non-ideal gasdynamics. The attention is placed on the neighbourhood of the singularity point where oblique waves intersect. Thanks to non-ideal effects such as the Mach number increase across shock waves, rarefaction shocks, compression fans and composite waves, the classical picture of shock reflections and interaction is enriched with new flow patterns. An overview of the most relevant configurations is given. Finally, a realistic application where non-ideal supersonic flows occur is considered, namely the expansion in the turbine of an Organic Rankine Cycle (ORC) power plant. Focusing on supersonic stator vanes, firstly the flow is forced into a converging-diverging channel and then, at the trailing edge of each blade, oblique waves are generated due to the rotation imposed by the finite thickness of the trailing edge or to accommodate post-expansion or compression. The oblique waves generated on the pressure side of the blade propagate towards the suction side of the neighbouring blade and undergo a reflection when they impinge on the blade wall. The influence of non-ideal effects on the blade design and on the off-design performance is studied by means of numerical simulations. Advantages and disadvantages of operating in the non-ideal gasdynamic regime are discussed for a few specific examples, nonetheless providing more general considerations.

Flussi comprimibili vicino alla curva di saturazione e al punto critico si osservano in diverse applicazioni tecniche, tra le quali gli endoreattori a propellenti ibridi, i cicli di potenza, processi farmaceutici e di estrazione del gas naturale. Tali condizioni operative di alta densità sono caratterizzate da fenomeni che non hanno controparte nel regime di gas diluito e ideale che spesso si assume in gasdinamica. Esempi di questi fenomeni sono: l’aumento di velocità del suono nelle espansioni adiabatiche, l’aumento del numero di Mach attraverso urti obliqui e la diminuzione dello stesso attraverso espansione isentropiche, l’ammissibilità di urti di rarefazione, la riflessione di urti obliqui come ventagli di Prandtl-Meyer. Alla base di questi effetti gasdinamici è il particolare comportamento termodinamico della sostanza in esame, che non può essere modellata accuratamente utilizzando la leggi dei gas ideali, né dal punto di vista quantitativo né da quello qualitativo. Per enfatizzare la natura termodinamica non-ideale, effetti come quelli descritti sopra sono denominati effetti non-ideali. Progressi nel campo della Fluidodinamica Comprimibile Non-Ideale (Non-Ideal Compressible Fluid Dynamics, NICFD) – branca della meccanica dei fluidi specializzata nello studio di flussi comprimibili che si discostano significativamente da quelli dei gas ideali – promuovono l’ottimizzazione di processi industriali esistenti e di macchinari che utilizzano sostanze vicino al punto critico, così come lo sviluppo di nuovi processi e dispositivi. Il contributo di questa tesi alla NICFD è relativo a flussi supersonici stazionari, in particolare flussi in geometrie confinate. In questo ambito, un quesito di ricerca fondamentale è: Quali sono le configurazioni fisicamente ammissibili nel regime non-ideale e come differiscono da quelle osservabili nei flussi di gas ideali? Ancora, quali sono le condizioni necessarie per poter osservare una specifica configurazione, ossia, come sono collegate le proprietà del campo di moto a quelle della sostanza e alle condizioni al contorno? Questi sono aspetti chiavi in applicazioni che sfruttano flussi supersonici non-ideali e temi che questa tesi tratta. A questo scopo, un’analisi teorica approfondita di flussi supersonici stazionari non-ideali è effettuata. Gli sforzi si concentrano su tre principali aree: flussi in ugelli convergenti divergenti, flussi su rampe di compressione ed espansione, riflessioni e interazioni di urti. Questi sono elementi costitutivi di più generali flussi supersonici in geometrie confinate. Queste tipologie di flusso sono analizzate nell’ambito non-lineare per estendere studi precedenti basati su teorie approssimate (piccole perturbazioni ed espansioni asintotiche) o sulla numerica. L’ugello convergente divergente è il prototipo del condotto ad area variabile, il flusso su rampe è il modello della deviazione repentina di una corrente supersonica (importante anche per flussi esterni), realizzata, ad esempio, tramite un urto che viene in seguito riflesso su una parete o interagisce con un altro urto. Si assume che gli effetti di viscosità e conducibilità termica possono essere trascurati e pertanto il flusso può essere completamente descritto dalle equazioni di Eulero, aumentate con le relazioni di salto di Rankine-Hugoniot in punti di discontinuità. Un’equazione di stato arbitraria è invece consentita. In particolare, i tipici vincoli della gasdinamica classica sulla curvatura delle isentropiche nel piano pressione—densità o pressione—volume specifico, che in definitiva determinano l’evoluzione qualitativa della corrente, sono rimossi. I flussi in ugelli convergenti divergenti sono studiati tramite l’approssimazione quasi-mono-dimensionale. Viene presentato un nuovo approccio analitico che è in grado di mostrare il collegamento tra un generico flusso adiabatico e le proprietà della corrente localmente isentropica, inclusi i cambiamenti qualitativi di quest’ultima nel passaggio attraverso urti. Per prima cosa, i flussi isentropici sono classificati per facilitare la costruzione e l’analisi di flussi con urti, che vengono calcolati con una tecnica di shock-fitting. Si introduce il concetto di regime di funzionamento per esaminare la risposta del sistema a variazioni della pressione a valle, a condizioni totali di ingresso fissate, ossia a condizioni di serbatoio fissate, se si immagina l’ugello connesso con un serbatoio a monte. Estendendo i risultati di studi precedenti, dieci diversi regimi di funzionamento sono identificati. Tra questi si trovano un regime che rappresenta lo scenario tipico del gas ideale e nove configurazioni non-ideali. Caratteristiche chiave dei regimi di funzionamento non-ideali sono la presenza di urti di rarefazione per espandere a numeri di Mach arbitrariamente grandi e la possibilità di osservare fino a tre urti nell’ugello. In seguito, si analizzano le condizioni che determinano la transizione tra i vari regimi di funzionamento. Come risultato si ottiene una mappa delle condizioni di serbatoio associate a ciascun regime di funzionamento. Questa mappa consente di identificare la regione termodinamica di interesse per osservare flussi non-ideali in ugelli convergenti divergenti. Per esaminare i flussi supersonici su rampe, una teoria generale delle onde oblique, ossia le onde associate alla deflessione di una corrente supersonica, viene sviluppata. L’analisi delle onde oblique è effettuata rifacendosi al concetto di curve d’onda. La curva d’onda è l’insieme degli stati a valle che possiamo connettere con un determinato stato a monte tramite un’onda obliqua. L’analisi della struttura delle curve d’onda per diversi stati a monte rivela che, in aggiunta alla configurazione convenzionale con urti obliqui di compressione e ventagli di Prandtl-Meyer di espansione, esistono delle configurazioni non-ideali che includono urti di rarefazione, ventagli di compressione e onde composite (combinazioni di urti e ventagli). Viene studiato anche il collegamento tra lo stato a monte e la configurazione della curva d’onda, tramite l’uso di mappe termodinamiche. Ulteriore aspetti di ricerca nell’ambito delle onde oblique riguardano l’aumento del numero di Mach attraverso urti obliqui, per il quale si forniscono condizioni necessarie e l’estensione delle tipiche polari degli urti con un semipiano aggiuntivo corrispondente a ventagli di Prandtl-Meyer. In seguito, la teoria delle onde oblique viene applicata all’analisi di riflessioni e interazioni di urti nel contesto di gasdinamica non-ideale. L’attenzione è posta sull’intorno del punto di singolarità dove le onde oblique di intersecano. A causa di effetti non-ideali come l’aumento del numero di Mach attraverso urti obliqui, urti di rarefazione, ventagli di compressione e onde composite, lo scenario classico delle riflessioni e interazioni di urti è arricchito con molte nuove configurazioni di flusso. Una panoramica delle configurazioni più rilevanti viene fornita. Infine, si considera un’applicazione realistica dove si possono osservare flussi supersonici non-ideali, ossia l’espansione nella turbina di un impianto a Ciclo Rankine Organico (Organic Rankine Cycle, ORC). Focalizzandosi sul primo statore supersonico, prima il flusso viene forzato all’interno di un canale convergente divergente e poi, al bordo d’uscita delle pale, onde oblique vengono generate a causa dello spessore finito del bordo d’uscita o per assecondare una post-espansione o compressione. Le onde oblique generate sul ventre in sovrapressione di ciascuna pala si propagano verso il dorso in depressione delle pale adiacenti e nel contatto con la parete subiscono una riflessione. L’influenza degli effetti non-ideali sul design della pala e sulla performance in off-design è studiata tramite simulazioni numeriche. Vantaggi e svantaggi di condizioni operative nel regime di gasdinamica non-ideale sono discusse sulla base di alcuni esempi, fornendo tuttavia considerazioni di carattere generale.