On the determination of discontinuous coefficients in semilinear elliptic and parabolic boundary value problems arising in cardiac electrophysiology

The objective of this thesis is the investigation of inverse problems related to semilinear boundary value problems involved with the mathematical description of the cardiac electrical activity. The long-term purpose which motivates the research in this field is to discuss the possibility of identifying ischemic areas within the cardiac tissue only by means of non-invasive measurements. We tackle this issue within the mathematical framework of the theory of Inverse Problems, pursuing an approach which focuses both on analytical and on numerical aspects. Mathematical models allowing for a satisfactory description of the cardiac electrophysiology have been developed since the late 70s, and consist in coupled systems of nonlinear parabolic partial differential equations and ordinary differential equations. When considering the presence of ischemic areas within the tissue, discontinuous alterations of the coefficients are entailed: we consider the inverse problem of determining such inhomogeneities from the knowledge of the electrical potential on the boundary of the domain. Despite some contributions have been recently given in this field, a complete theoretical investigation of this inverse problem has not yet been carried out. The main guidelines of our study are both the extension of the existing theoretical results and the development of effective and rigorous numerical reconstruction algorithms. We proceed by formulating simplified versions of the problem of interest and then extending the results on subsequent refinements of the model. We also rely on the introduction of regularization hypotheses, namely, a priori assumptions regarding the inhomogeneity to be identified, which help in restoring the well-posedness of the inverse problem: particular attention is given to the task of localizing ischemic areas of small size. Regarding the identification of small inclusions (both in a semilinear elliptic and parabolic problem), we rely on the formulation of an asymptotic expansion of the boundary voltage with respect to the size of the inclusion in order to analyze the well-posedness of the inverse problem and also to introduce a reconstruction algorithm, based on a Topological Optimization approach. When removing any a priori assumption and tackling the detection of arbitrarily large inclusions, no theoretical result regarding the well-posedness of the inverse problem is known; we instead focus on the rigorous deduction of a reconstruction algorithm for the approximation of its solution. The devised technique, which relies both on the regularization theory for inverse problems and on a relaxation strategy, allows for satisfactory reconstructions. We finally move towards the application of the introduced techniques on the full complexity of the application model. We hence investigate the well-posedness of the direct problem, extending the existing results in the literature. An additional aspect which is taken into account, from a numerical perspective, is the a posteriori error analysis of the discrete solver of the direct problem, which is preliminary for an efficient application of the developed reconstruction algorithms.

Lo scopo del presente lavoro di tesi è l'analisi di un problema inverso relativo ad un problema al contorno semilineare per la descrizione matematica dell'attività elettrica del cuore. L'obiettivo di lungo termine che motiva la ricerca in questo campo è la possibilità di identificare la presenza di regioni ischemiche nel tessuto cardiaco attraverso misurazioni non invasive. La tematica è affrontata nel contesto della teoria dei Problemi Inversi, focalizzandosi sia su aspetti analitici che numerici. Modelli matematici per la descrizione dell'elettrofisiologia cardiaca sono stati sviluppati dagli anni 70, e si articolano in sistemi che presentano equazioni paraboliche alle derivate parziali accoppiate con equazioni differenziali ordinarie. La presenza di aree ischemiche nel tessuto implica di considerare un'alterazione discontinua dei parametri: ci occupiamo pertanto del problema inverso di determinare tali inomogeneità dalla conoscenza del potenziale elettrico sulla superficie del dominio. Nonostante si siano registrati diversi contributi in questo campo negli ultimi anni, non è ancora stata condotta una completa analisi teorica del problema inverso. Le linee guida di questo studio sono perciò sia l'estensione di risultati teorici esistenti sia lo sviluppo di algoritmi di ricostruzione numerici che siano efficaci e rigorosi. Procediamo formulando versioni semplificate del problema di interesse, per estendere poi i risultati a raffinamenti successivi del modello. Ci basiamo inoltre sull'introduzione di ipotesi di regolarizzazione, ossia assunzioni a priori circa le inomogeneità da identificarsi, le quali aiutano a ripristinare la buona posizione del problema inverso: un'attenzione particolare è fornita al problema di localizzare aree ischemiche di piccole dimensioni. Per quanto riguarda l'identificazione di piccole inclusioni (sia in problemi ellittici che parabolici), il risultato cruciale è la formulazione di uno sviluppo asintotico per la perturbazione del potenziale elettrico di bordo rispetto alle dimensioni dell'inclusione, che permette di analizzare la buona posizione del problema inverso e anche di dedurre un algoritmo di ricostruzione basato su un approccio di Ottimizzazione Topologica. Se si rimuove invece ogni ipotesi a priori e si affronta la ricerca di inclusioni arbitrariamente grandi, non esiste alcun risultato circa la buona posizione del problema inverso; ci concentriamo invece sulla deduzione rigorosa di un algoritmo di ricostruzione per l'approssimazione della soluzione. La tecnica approntata, che si basa sia sulla teoria della regolarizzazione per problemi inversi sia sul rilassamento del problema di ottimizzazione associato, permette di ottenere risultati soddisfacenti. Infine, ci accingiamo ad applicare le tecniche introdotte sul modello applicativo nella sua complessità. A questo scopo, è prima necessario studiare la buona posizione del problema diretto, estendendo i risultati presenti in letteratura. Un ulteriore aspetto che viene considerato, da un punto di vista numerico, è l'analisi a posteriori dell'errore commesso nell'approssimazione numerica del problema diretto, studio preliminare per incrementare l'efficienza degli algoritmi di ricostruzione.