Stability analysis in suspension bridges through some new mathematical models

The main object of study of this work is the mathematical modeling of suspension bridges. The motivations are multiple, first of all the fact that these structures manifested and manifests anomalous oscillations. Many observations throughout history have recorded that torsional instability afflicts suspension bridges, leading in some cases to the collapse of the structure. The most famous case, here studied in deep, is the collapse of the Tacoma Narrows Bridge in 1940, in which a sudden change from vertical to torsional oscillations led to the failure. In the scientific community there is not an unanimously accepted explanation about the origin of instability; there are many theories from vortex shedding to flutter, from structural instability to parametric resonance. In this work we present three new isolated models for suspension bridges aiming to show that the torsional instability arises suddenly due to the nonlinear configuration of the structures. The energy given by the wind excitation is introduced in the system through the initial conditions, avoiding to consider the wind as an explicit external force and dealing with the problem from a different point of view. In general we proceed writing the total energy of the system and deriving from variational principles two nonlinear partial differential equations in space and time. Our unknowns are the vertical displacement and the torsional rotation of the deck, corresponding respectively to a harmless oscillation and to a very dangerous one. The system of differential equations is studied at first in terms of existence and uniqueness of a solution and subsequently performing numerical analysis on the approximated solution; as we will see the existence and uniqueness topic is not trivial at all due to the nonlinearities, hence we provide the full proofs in the most interesting cases. Since the dynamics of a bridge is affected by many factors, like the oscillation of the deck, the slackening of the hangers, the displacements of the main cables..., we proceed step by step considering models with simplifications. At first we suggest a new nonlinear model in which the cables are fixed and the hangers are extensible to focus on the slackening mechanisms of the hangers; in particular, we model this phenomenon through nonlinearities as the positive part function and some variants. We find numerically the solution of the dynamical system, highlighting the instability phenomena with respect to the modes and the mechanical parameters. Then, inspired by the Melan equation we propose a second model for suspension bridges with two deformable cables linked to a deck, through inextensible hangers; in this case we overturn the simplification related to the first model. We prove existence and uniqueness of a weak solution and we perform some numerical experiments on the approximated solution; moreover, we propose a sensitivity analysis of the system by mechanical parameters in terms of torsional instability. Aiming to propose more refined models we conclude this work presenting a third model for suspension bridges in which both the cables and the hangers are deformable, imposing the convexification of the cables. More precisely we show that, by inserting a convexity constraint on the cables of a suspension bridge, the torsional instability of the deck appears at lower energy thresholds. Since this constraint is suggested by the behavior of real cables, this model appears more reliable than the classical ones. Moreover, it has the advantage to reduce to two the number of degrees of freedom, avoiding to introduce the slackening mechanism of the hangers as an independent variable. The drawback is that the resulting energy functional is extremely complicated, involving the convexification of unknown functions. For these reasons the chapter devoted to this model is divided in two main parts. The first part focuses on the study of these functionals and provides some new results from calculus of the variations. The second part applies this study to the suspension bridge model with convexified cables, giving the proofs related to existence and uniqueness of a solution and performing different numerical experiments. Our results display that there are specific thresholds of torsional instability with respect to the initial amplitude of the longitudinal mode excited, suggesting that the origin of the instability is hidden in the nonlinear behavior of structures.

L’oggetto di studio principale di questo lavoro è la modellazione matematica di ponti sospesi. Le motivazioni sono multiple, prima di tutto il fatto che queste strutture manifestarono e manifestano oscillazioni anomale. Molte osservazioni nel corso della storia hanno registrato che l’instabilità torsionale affligge i ponti sospesi, portando in alcuni casi al collasso della struttura. Il caso più celebre, qui studiato a fondo, riguarda il Tacoma Narrows Bridge, in cui un improvviso cambio da un’oscillazione verticale ad una torsionale portò al collasso del ponte nel 1940. Nella comunità scientifica non c’è una spiegazione unica e condivisa sull’origine dell’instabilità; ci sono molte teorie dal vortex shedding al flutter, dall’instabilità strutturale alla risonanza parametrica. In questo lavoro sono presentati tre modelli isolati per ponti sospesi in cui si mostra che l’instabilità torsionale si manifesta improvvisamente a causa della configurazione non lineare della struttura. L’energia data dall’eccitazione del vento è introdotta nel sistema attraverso le condizioni iniziali, evitando di considerare il vento come una forzante esterna esplicita e affrontando il problema da un punto di vista diverso. In generale lo studio del problema inizia con la definizione dell’energia totale del sistema da cui si derivano, mediante principi variazionali, due equazioni alle derivate parziali non lineari nello spazio e nel tempo. Le incognite sono lo spostamento verticale e la rotazione torsionale dell’impalcato, corrispondenti rispettivamente ad un’oscillazione innocua e ad una molto pericolosa per la struttura. Il sistema di equazioni differenziali è studiato in primis in termini di esistenza e unicità di una soluzione e successivamente eseguendo analisi numeriche sulla soluzione approssimata; l’esistenza e l’unicità della soluzione sono tematiche non banali a causa delle non linearità del sistema, per cui si presentano le dimostrazioni complete nei casi più significativi. Dal momento che la dinamica di un ponte è influenzata da molti fattori, come l’oscillazione dell’impalcato, l’allentamento dei pendini, lo spostamento dei cavi principali… si procede passo dopo passo considerando modelli con diverse semplificazioni. Per primo si considera un nuovo modello non lineare in cui i cavi sono fissi e i pendini estensibili, col fine di analizzare i fenomeni di allentamento dei pendini; in particolare, si propongono diverse non linearità per simulare l’allentamento, dalla funzione parte positiva ad alcune sue varianti, determinando numericamente la soluzione del sistema. Successivamente si propone un modello ispirato all’equazione di Melan con due cavi deformabili connessi all’impalcato attraverso pendini inestensibili, invertendo la semplificazione effettuata nel primo modello. In questo caso viene dimostrata l’esistenza e l’unicità di una soluzione debole e si effettuano alcuni esperimenti numerici sulla soluzione approssimata; il modello include anche un’analisi di sensitività del sistema dai parametri meccanici in termini di instabilità torsionale. Con l’intento di proporre modelli più precisi il lavoro è completato da un terzo modello per ponti sospesi in cui sia i cavi che i pendini sono deformabili, introducendo la convessificazione dei cavi. Nello specifico si mostra che, inserendo un vincolo di convessità sui cavi del ponte, l’instabilità torsionale dell’impalcato appare in corrispondenza di soglie di energia più basse. Visto che tale vincolo è suggerito dal comportamento reale di un cavo, questo modello appare più realistico di quelli classici. Inoltre presenta il vantaggio di ridurre a due il numero dei gradi di libertà, evitando di introdurre l’allentamento dei pendini come variabile indipendente. Lo svantaggio è che il funzionale relativo all’energia risulta molto complicato, coinvolgendo la convessificazione di funzioni incognite. Per queste ragioni il capitolo relativo a questo modello è diviso in due parti principali. La prima si focalizza sullo studio di questi funzionali e fornisce alcuni nuovi risultati in termini di calcolo delle variazioni. La seconda parte applica questo studio a modelli di ponte sospeso con cavi convessificati, fornendo dimostrazioni relative a esistenza e unicità di soluzione e proponendo diversi esperimenti numerici. I risultati di questo lavoro di tesi mostrano che ci sono specifiche soglie di instabilità torsionale rispetto all’ampiezza iniziale del modo longitudinale eccitato, suggerendo che l’origine dell’instabilità è nascosta nel comportamento non lineare dei ponti sospesi.