On computing second derivatives in optimal motion planning for robot manipulators

Autonomous robotic systems are becoming ubiquitous in industrial and urban settings, ranging from warehouse robots such as Amazon’s to autonomous cars such as Tesla’s. From an abstract standpoint, an autonomous robotic system can be seen as the real-time collaboration of a robotic system (an industrial manipulator, a ground vehicle, an airplane, an underwater vehicle), provided with sensors and actuators, and a decision unit that elaborates the sensory input in order to perceive the environment (e.g., position of obstacles, position of other vehicles, definition of the roadway boundaries) and then decide which actuation outputs are suitable to achieve a (set of) desired goal(s). One way to take actuation decisions is via the optimization, over a finite time horizon, of a cost functional that can measure, e.g., the amount of energy required to perform a specific motion. Other examples of cost functional include the path length or the amount of overlap between the safety areas of two autonomous cars. The analytic solution to this kind of (optimal control) problems is easy to find only in really simple cases. In realistic applications, such as when robot models including kinematics, dynamics, and geometric and dynamic constraints are considered, there is the need to resort to numerical methods to compute (approximate) solutions by means of iterative algorithms. This thesis focuses on taking the first steps towards the creation of a toolbox for constrained optimal motion planning for robot manipulators. We focused, in particular, on integrating a software for the efficient computation of the dynamics of robot manipulators with a software for the automatic differentiation of the obtained equations of motions. The dynamics and its derivatives, obtained via automatic differentiation, is then merged with an existing numerical optimal control solver for the solution of feasible, collision free, trajectories. With the obtained software framework, we could then starting exploring the pros and cons of using second order derivatives (the ”Hessian”) in relation to the rate of convergence to a (possibly local) minimum. We were interested to explore, for the special case of existing robot manipulators, if the extra time spent in computing the second derivatives can be compensated by a faster convergence rate. Our findings are reported for the case of a planar 2DOF manipulator and a full 3D 6DOF manipulator (an UR5 robot model).

I veicoli autonomi sono sempre più presenti sia in ambito industriale che civile, dai robot dei magazzini di Amazon alle automobili autonome di Tesla. Da un punto di vista teorico i veicoli autonomi possono essere visti come la collaborazione in tempo reale di un robot (un manipolatore industriale, un veicolo terrestre, un aeroplano, un veicolo sottomarino), dotato di sensori e attuatori, ed un’unità di elaborazione dati che, ricevendo come input le informazioni trasmesse dai sensori, ricostruisce un’immagine dell’ambiente circostante, come la posizione degli ostacoli e, degli altri veicoli e la definizione dei limiti della strada, e quindi decide la migliore legge di attuazione per raggiungere gli obiettivi desiderati senza incorrere in collisioni o altre violazioni dei vincoli. Un modo per trovare il controllo è attraverso un’ ottimizzazione, in un orizzonte di tempo finito, di un funzionale di costo misurabile, come l’energia necessaria per una data manovra, la lunghezza della traiettoria o l’ammontare delle sovrapposizioni delle aree di sicurezza che circondano ciascun veicolo autonomo. La soluzione analitica dei problemi di controllo ottimo è facile da trovare solo in casi molto semplici. In applicazioni realistiche, ovvero quando il modello del robot tiene in considerazione cinematica, dinamica e vincoli geometrici e dinamici, è necessario utilizzare un metodo numerico per trovare soluzioni approssimate attraverso l’utilizzo di algoritmi iterativi. L’obiettivo di questo lavoro di tesi è porre le basi per la creazione di un toolbox per l’ottimizzazione vincolata di manipolatori. Particolare attenzione è stata posta nell’integrazione di un software per l’efficiente generazione di equazioni della dinamica di manipolatori con un software per la differenziazione automatica delle equazioni di moto ottenute. Le equazioni dinamiche e le loro derivate sono poi integrate in un ottimizzatore numerico per la ricerca di una traiettoria fattibile e anti-collisione. Con il toolbox ottenuto, è stato possibile analizzare i pro e i contro dell’utilizzo di derivate seconde (gli Hessiani) in relazione alla velocità di convergenza verso un minimo (anche locale). La tesi confronta i tempi totali di convergenza e le iterazioni dell’algoritmo quando sono usate o meno le derivate seconde. Sono riportati gli esempi di un robot planare con 2 gradi di libertà ed un manipolatore 3D con 6 gradi di libertà (modello di robot UR5).