Single barrier and lookback options : an analytical and a numerical pricing method

We describe two methods for the pricing of continuously monitored exotic options: an analytical method based on the Wiener-Hopf factorization and a Monte Carlo simulation approach. In the first case, making use of advanced mathematical elements such as the Hilbert Transform and the Inverse Laplace transform, we find a Lewis-like formula for option pricing. In the second method, we use the joint distribution of the Brownian motion and its maximum in order to modify the classic Monte Carlo simulation method and improve convergence for the pricing of path-dependent options. This technique has been generalized also to Levy processes. In both cases, we consider two different Levy models for the log-returns of the underlying asset: a Brownian Motion and a NIG model. The aim is to price a single lower barrier option and a lookback option with fixed strike.

Questo elaborato si propone di descrivere due metodi per la valutazione di opzioni esotiche: uno analitico, basato sulla fattorizzazione di Wiener-Hopf, e un metodo Monte Carlo. Nel primo caso, utilizzando tecniche matematiche avanzate come la trasformata di Hilbert o la trasformata inversa di Laplace, si ottiene una formula di tipo Lewis per la valutazione di opzioni. Nel secondo approccio, viene introdotta la distribuzione congiunta del Brownian Motion e del suo massimo per modificare il classico metodo Monte Carlo e migliorarne le caratteristiche di convergenza per opzioni path-dependent. Questa tecnica è generalizzata anche per processi di Levy. In entranbi i casi, vengono considerati due diversi modelli di Levy come dinamica per il logaritmo del rendimento dell'azione sottostante: un modello di Brownian Motion e un modello NIG. Lo scopo è di valutare un'opzione barriera e un'opzione lookback con strike fissato.