Modular energies for crystal elasto-plasticity and structural phase transformations

The purpose of this work is modelling a class of strain energy functions for two-dimensional crystals in order to predict elasto-plasticity phenomena together with martensitc phase transitions both of the reconstructive and weak type, with the particular intention of forecasting the manifestation of shape-memory effect. It proposes nonlinear variational models consisting of strain energies invariant under the global symmetry group GL(2,Z). These functions are conceived by exploiting the classical theory of modular forms on the Poincaré half-plane, which appears as a the suitable framework to construct energy densities exhibiting the correct invariance of two-dimensional lattices. Finally, the work comprehends the numerical validation of the theoretical proposals through the implementation of a finite-elements code.

Lo scopo di questo lavoro è proporre un modello di potenziali elastici di deformazione per cristalli bidimensionali con l’obiettivo di prevedere fenomeni elastoplastici così come trasformazioni di fase martensitica sia di tipo ricostruttivo che distorsivo. In particolare, poichè l’effetto memoria di forma si manifesta nell’ambito delle trasformazioni di fase di quest’ultimo tipo, uno dei modelli proposti è adatto a predirne l’insorgere. Sono proposti modelli di tipo variazionale non lineare di energie di deformazione invarianti rispetto all’azione del gruppo di simmetria globale GL(2,Z). Queste funzioni sono concepite tramite la teoria classica delle forme modulari sul semipiano di Poincaré, che appare come l’ambiente più opportuno dove costruire densità di energia che esibiscano l’invarianza tipica dei reticoli cristallini bidimensionali. Il lavoro si conclude con la validazione numerica di tali modelli teorici tramite l’implementazione di un codice a elementi finiti.