Granular imager : modeling and control

The purpose of this dissertation is to investigate modeling and control strategies for the Granular Imager (GI) concept. The GI idea is the result of an ongoing research endeavor to study the feasibility of a distributed space imaging system, whose optical surface is made of a granular cloud of reflective particles instead of a monolithic mirror. This work is framed in the 'Orbiting Rainbows' paradigm, a Phase II NIAC (Nasa Innovative Advanced Concepts) project. The overall modeling problem involves a very large parameter space (i.e. optics, laser matter interaction, disordered systems, multi-scale simulation, formation flying, distributed systems, granular media, plasma physics, gravito-electro dynamics). In this dissertation, the overall system is modeled as a large ensemble of rigid bodies, physically disconnected from each other, whose interconnections depend on the actuation force fields. The nature of the system is modular both at the micro- and macro- scale. The subsystem elemental body at the macro-scale is a large satellite that contains and confine the granular media cloud. This spacecraft constitutes an optical sub-aperture that flying in formation with other identical elements generates a very large synthetic aperture. The elemental system at the micro-scale (i.e. a reflective grain) is modeled as a micrometric rigid body. A large number of these elements constitutes the granular cloud in each sub-aperture. A complete model of this system is implemented and analyzed in the physics-based simulation software DSENDSEdu thus addressing the multi-scale dynamics. A set of relative equations of motion for the system in orbit is derived analytically and used to synthesize the various control strategies developed throughout this work. The control problem at the macro-scale consists of formation flying multiple granular sub-apertures and it is solved with a linear optimal tracking controller. This strategy is simulated in the DSENDSEdu environment that allows to analyze the grain behavior during formation keeping and retargeting. The challenging task of controlling the grain dynamics at the micro-scale is considered both from a deterministic and a stochastic perspective. A laser interaction model, based on ray-tracing techniques, is used to derive a dynamical model for the grain behavior while subjected to laser radiation. In this framework, a geometrical time-optimal control law based on a bilinear approximation of the system is derived for grain realignment, while nonlinear strategies for state-dependent models (i.e. state-dependent unconstrained and constrained Riccati approaches) are used for position and orientation control. A novel control strategy, based on the kinematic properties of the phase-plane generated by the geometrical control law, is considered to partially realign multiple grains simultaneously in the absence of damping and with a single laser source. The problem of controlling a large number of particles with a small set of actuators necessarily asks for a controllability analysis. The failure of controllability in a deterministic sense sets the path for reformulating the problem under a stochastic viewpoint. A probabilistic approach for controlling the average space distribution of the particles is developed considering a simplified dynamical model. This strategy is based on Optimal Transport theory, that provides a mathematical framework to derive 'optimal' ways of transporting probabilistic distributions. The problem of controlling the collective dynamics of the particles is transported in the probability space, in which an optimal control problem for the density evolution is solved. A novel metric derived from Optimal Transport theory and a more refined density model are used to overcome some limitations of the previous implementations. Numerical simulations proved the effectiveness of this strategy thus suggesting a future integration with the complete simulation model.

Lo scopo di questa tesi è di studiare metodi di modellazione e controllo per un' innovativa architettura di telescopio spaziale (Granular Imager) che utilizza un mezzo granulare come superficie ottica. Questo lavoro si inserisce nel più ampio progetto NIAC (Nasa Innovative Advanced Concepts) `Orbiting Rainbows' il cui scopo è di studiare la fattibilità di realizzare un sistema ottico distribuito ottenuto manipolando una nuvola di particelle riflettenti. Il sistema viene modellato come un insieme di corpi rigidi disconnessi tra loro, le cui mutue interazioni dipendono dai campi di forza generati dagli attuatori. La natura del problema è intrinsecamente multi-scala. Da una parte, le particelle granulari sono confinate in satelliti che costituiscono l'apertura sintetica di un sistema ottico equivalente. La dinamica dei satelliti in formazione è estremamente più lenta della dinamica del sistema granulare. Inoltre, il sistema è modulare sia alla macro- che alla micro-scala. Il sottosistema alla macro-scala è rappresentato dal singolo satellite mentre il sottosistema alla micro-scala è costituito dal singolo granello riflettente. Nella prima parte di questo lavoro, il sistema completo in orbita è stato implementato nel simulatore DSENDSEdu, il che ha permesso un' analisi quantitativa della dinamica multi-scala. Allo stesso tempo, le equazioni che descrivono la dinamica relativa dei satelliti e delle singole particelle sono state derivate analiticamente. Il problema di controllo alla macro-scala consiste nel progettare un controllore di formazione per i satelliti in orbita. La strategia adottata utilizza un regolatore ottimo basato sulla linearizzazione delle equazioni di moto relativo. Lo schema di controllo viene simulato nel sistema completo permettendo un' analisi della dinamica dei granelli quando i satelliti vengono attuati alla macro-scala. L'estrema differenza nella dinamica dei due componenti del sistema permette di analizzare il problema di controllo delle particelle in maniera disaccoppiata da quello alla macro-scala. Nella seconda parte viene affrontato il problema di controllare la dinamica dei granelli alla micro-scala, sia dal punto di vista deterministico che stocastico. Un modello di interazione ottica (ray-tracing) viene utilizzato per descrivere il comportamento dinamico delle particelle soggette ad attuazione laser. Basandosi su di un'approssimazione bilineare di questo modello, una logica di controllo geometrica a tempo minimo viene utilizzata per il riallineamento dei granelli. In questo contesto, un innovativo schema basato sul piano delle fasi generato dalla legge di controllo geometrica viene utilizzato per il riallineamento simultaneo di più particelle con una singola sorgente laser. Il modello dinamico è poi esteso al controllo deterministico in posizione del singolo granello. Questo problema viene risolto con schemi di controllo non lineari basati su di una generalizzazione del regolatore ottimo lineare. Il problema di controllare più particelle in posizione con un limitato numero di attuatori necessita di un' analisi di controllabilità. Viene quindi mostrato che il sistema di particelle non è controllabile in senso deterministico. Di conseguenza, un approccio stocastico viene considerato. Un modello dinamico semplificato è quindi utilizzato per derivare equazioni che modellino l'evoluzione probabilistica della densità spaziale delle particelle. Lo scopo è di controllare la redistribuzione delle particelle da una configurazione casuale ad una distribuzione di riferimento. La logica di controllo è basata sulla teoria del trasporto ottimo (Optimal Transport) che fornisce la cornice matematica per trattare distribuzioni di probabilità. La dinamica collettiva delle particelle viene trasformata in un' evoluzione di densità di probabilità. In questo contesto, un modello di densità più accurato ed una metrica riadattata dalla teoria del trasporto ottimo permettono di controllare la distribuzione delle particelle.