Continuous-thrust collision avoidance manoeuvres optimization

In the last few decades, space debris have become one of the most important hazards for space activities; preventing their formation is the best mitigation option, and avoiding an impact can be of fundamental importance for a mission's success. This study proposes four methods to design a continuous-thrust Collision Avoidance Manoeuvre (CAM), which have been developed in the perspective of finding a fast and reliable approach, suitable for on-board implementation. The objective function to be minimized is the collision probability (Pc) at the nominal time of closest approach. The first approach consists in the conversion from an analytical fuel-optimal impulsive manoeuvre to a finite-burn arc through an indirect optimal control model. In the second approach, a new formulation of the problem is proposed, where the collision probability is considered as a terminal constraint in the minimum-Fuel and minimum-Energy Optimal Control Problem (FOP/EOP). The mathematical formulation yields a Two Boundary Value Problem, whose minimum-fuel discontinuous solution is achieved through a continuation method, and the shooting method is adopted for the resolution of the minimum-energy formulation. Both of these approaches require time consuming fully numerical iterative cycles. The last two methods are based on the linearisation of EOP, and consist in an analytical and semi-analytical approach. In the analytical approach the direction of maximum change of Pc is exploited, in order to obtain the maximum decrease of Pc with the least deviation from the nominal trajectory. In the semi-analytical approach, the boundary conditions of the TPBVP associated to the minimum-energy problem are exploited, leading to a relation between the terminal cost in the cost function and the final spacecraft position. All these approaches are compared via a numerical test case set in the two-body dynamical framework, assuming circular Keplerian orbits.

Negli ultimi decenni, i detriti spaziali sono diventati uno dei maggiori pericoli per le attività spaziali; prevenirne la formazione è la migliore strategia di mitigazione, ed evitare un impatto può essere di importanza vitale per il successo di una missione. Questo studio propone quattro metodi per progettare una manovra per evitare la collisione (CAM) a spinta finita, sviluppati nell'ottica di trovare un approccio veloce e robusto, adatto all'implementazione a bordo. L'obiettivo è minimizzare la probabilità di collisione (Pc) all'istante nominale di distanza minima. Il primo metodo consiste nella conversione di una manovra ottima impulsiva in un arco finito di spinta (FBC) attraverso un modello di controllo ottimo indiretto. Nel secondo approccio è proposta una nuova formulazione del problema, dove Pc è inserita come costo finale in un problema di controllo ottimo (OCP) nelle formulazioni a minima energia e minimo propellente. Tramite l'uso dei moltiplicatori di Lagrange e il calcolo variazionale, il problema diventa trovare i valori iniziali dei moltiplicatori. La soluzione a minimo propellente ha un profilo discontinuo e, di conseguenza, per evitare problemi numerici, è adottato un metodo di continuazione sulla spinta. La formulazione a minima energia è risolta tramite l'utilizzo dello shooting method. I precedenti due metodi sono interamente numerici e di difficile risoluzione a causa di possibili problemi numerici. Gli ultimi due metodi sono basati sulla linearizzazione dell' OCP formulato nella versione a minima energia (EOP), e consistono in un approccio analitico ed in uno semi-analitico. Nell'approccio analitico è sfruttata la direzione dove Pc varia più velocemente, in modo tale da ottenere la massima diminuzione di Pc con la minima deviazione dalla traiettoria nominale. Nell'approccio semi-analitico vengono sfruttate le condizioni finali sui moltiplicatori ricavate dall'applicazione dell' OCP, le quali permettono di ottenere una relazione tra il costo finale nella funzione obiettivo e la probabilità risultante. Tutti i precedenti approcci sono comparati tra loro attraverso un caso reale nel contesto del problema dei due corpi, considerando orbite Kepleriane circolari.