Hawking radiation in Bose-Einstein condensates : analytical results

The purpose of this paper is to treat, with purely analytic method, the study of the analogue Hawking effect in Bose-Einsten condensates (BEC), assuming smooth velocity fields. This work is based on recent analysis which allow a more complete study about the behavior of the modes in a neighborhood of the horizon (turning point). Thanks to an analytical treatment, we can recover an explicit expression for the greybody factor. The first part of the analysis is standard and it can be found in literature; it consists in a system of one-dimensional second order coupled equations, which can be decoupled in two fourth order ordinary equations. We find the WKB solutions, far from the horizon. Then, thanks to recent achivements, it has been possible to recover approximations of the solutions near the turning point and, by means of matched asymptotic expansion method, to glue the two approximations. Finally, by the conservation of current, we will evaluate the termality and the greybody factor.

L'obiettivo di questo elaborato è quello di trattare, tramite metodi puramente analitici, lo studio analogo dell'effetto Hawking nei condensati di Bose-Einstein (BEC), assumendo campi di velocità lisci. Il lavoro è basato su recenti analisi che permettono uno studio più completo per quanto riguarda il comportamento dei modi in un intorno dell'orizzonte (turning point). Grazie al fatto di mantenere una trattazione analitica, si è potuto ricavare l'espressione del fattore di corpo grigio. La prima parte dell'analisi è standard e può esser trovata in letteratura; essa consiste in un sistema di equazioni differenziali del second'ordine, unidimensionali e accoppiate, che possono esser disaccoppiate ottenendo due equazioni differenziali ordinarie del quarto ordine. Si ricavano le soluzioni WKB, lontano dall'orizzonte. Quindi, grazie a recenti risultati, è stato possibile trovare un'approssimazione delle soluzioni vicino al turning point e, per via di metodi di matched asymptotic expansion, incollare le due approssimazioni. Infine, usando la conservazione delle correnti, si è ricavato la termalità e il fattore di corpo grigio.