Dimensional model reduction of fluid-structure interaction models

Fluid-Structure Interaction (FSI) is among the most challenging problems in engineering. This work aims to study a 2D-0D dimensional model reduction of FSI. We consider an imcompressible flow, governed by Navier-Stokes equations, around a rigid obstacle, which may move with a linear elastic constraint. In particural, we discuss a classic benchmark problem of computational fluid dynamics (CFD) and FSI, that is the 2D flow around a disc. The main challenge in this development of the 2D-0D reduction model is how to represent the rigid disc as a point. We formulate a mathematical model that addresses this problem through the use of Lagrange multiplier method to enforce the kinematic and dynamic constraints between the solid and the fluid. Specifically, to deal with the pointwise evaluation of the fluid velocity at the center of the disc, we replace it with the average of the fluid velocity on the fluid-solid interface. Once the mathematical model has been formulated, we proceed with the numerical discretization using the finite element method and FreeFem++ as solver. At the computational level, our FSI model requires to use a computational mesh for the fluid domain that does not conform with the profile of the disc. We have overcome this difficulty by creating an algorithm that calculates the intersection between a parameterized circumference, representing the disc, and each edge of the mesh for the fluid domain that crosses it, using the interpolation of the Gauss point. Then we write the algebraic formulation in a matrix form in order to compute the numerical solution, obtaining a block matrix that represents the fluid structure interaction. To conclude, we conduct some tests to verify the validity of the work and we compare the results obtained using the developed algorithm with results available in literature.

I problemi di Interazione Fluido-Struttura (FSI) sono tra i più delicati nel campo dell’ingegneria. Questa tesi si propone l’obiettivo di studiare un modello ridotto 2D-0D di un FSI. Abbiamo considerato un fluido incomprimibile, governato dalle equazioni di Navier-Stokes, che scorre attorno ad un ostacolo rigido che può muoversi secondo un modello elastico lineare. In particolare, abbiamo discusso un classico problema di riferimento nel campo della fluidodinamica computazionale (CFD) ed in quello di FSI, ovvero un flusso 2D attorno ad un disco. La sfida principale nello sviluppo di questo modello ridotto 2D-0D è stata la ricerca di una rappresentazione efficace del disco rigido come un solo punto. Abbiamo quindi formulato un modello matematico che affronta questo problema attraverso l’uso del metodo dei moltiplicatori di Lagrange per imporre i vincoli cinematici e dinamici tra il solido ed il fluido. In particolare, per risolvere la difficoltà della valutazione puntuale della velocità del fluido al centro del disco, abbiamo sostituito quest’ultima con la media della velocità del fluido all’interfaccia fluido-struttura. Una volta formulato il modello matematico, abbiamo proceduto con la discretizzazione numerica utilizzando il metodo degli elementi finiti e FreeFem++ come solutore. A livello computazionale, il nostro modello FSI richiede l’utilizzo di una mesh computazionale per il dominio fluido non conforme al profilo del disco. Questa difficoltà è stata superata creando un algoritmo che calcola l’intersezione tra una circonferenza parametrizzata, che rappresenta il disco, ed ogni elemento della mesh del dominio fluido che interseca, utilizzando le formule di quadratura di Gauss. In seguito abbiamo scritto la formulazione algebrica in forma matriciale per calcolare la soluzione numerica, ottenendo una matrice a blocchi che rappresenta l’interazione fluido-struttura. In conclusione, abbiamo effettuato alcuni test per verificare la validità del lavoro e abbiamo confrontato i risultati ottenuti utilizzando l’algoritmo sviluppato con i risultati disponibili in letteratura.