Beyond risk-based portfolios : building diversified portfolios that outperform out-of-sample

In a risk-based portfolio, there is no explicit control for the performance per unit of risk taken. We propose a framework to evaluate the balance between risk and performance at both the portfolio and component level, and to tilt the risk-based portfolio weights towards a state in which the performance and risk contributions are aligned. The key innovation is the Performance/Risk Contribution Concentration (PRCC) measure, which is designed to be minimal when, for all portfolio components, the performance and risk contributions are perfectly aligned. We investigate the theoretical properties of this measure and show its usefulness to obtain the PRCC modified riskbased portfolio weights, that avoid excesses in terms of deviations between the performance and risk contributions of the portfolio components, while still being close to the benchmark risk-based portfolio in terms of weights and relative performance. Then we introduce the Hierarchical Risk Parity (HRP) approach. HRP portfolios address three major concerns of quadratic optimizers in general and Markowitz’s CLA in particular: Instability, concentration and underperformance. HRP applies modern mathematics (graph theory and machine learning techniques) to build a diversified portfolio based on the information contained in the covariance matrix. However, unlike quadratic optimizers, HRP does not require the invertibility of the covariance matrix. In fact, HRP can compute a portfolio on an ill-degenerated or even a singular covariance matrix, an impossible feat for quadratic optimizers.

Un portafoglio basato sul rischio, per definizione, è costruito mediante le sole informazioni provenienti dalla stima della matrice di covarianza dei rendimenti degli strumenti finanziari disponibili sul mercato. La strategia risultante non mira dunque ad avere nessun controllo esplicito sulla performance per unità di rischio assunti dall'investitore. Nella prima parte della tesi viene introdotta la "Performance Risk Contribution Concentration" (PRCC), una misura disegnata per essere minima qualora i contributi alla performance e al rischio delle singole componenti del portafoglio risultassero perfettamente allineati. Si discutono le proprietà di tale misura ed il suo utilizzo nella formulazione di un problema di ottimizzazione quadratica volto all'ottenimento di una soluzione che, senza discostarsi troppo dal portafoglio di riferimento, presenti delle migliori proprietà in termini di allineamento fra contributi alla performance e al rischio a livello delle singole componenti. Nella seconda parte viene invece introdotto l'approccio denominato "Hierarchical Risk Parity" (HRP). I portafogli HRP mirano alla risoluzione di tre macro problematiche degli ottimizzatori quadratici in generale e della soluzione di Markowitz nello specifico: instabilità, concentrazione e sotto-performance. HRP utilizza una matematica moderna (teoria dei grafi e tecniche di machine learning) per costruire portafogli diversificati basati sulle informazioni contenute nella matrice di covarianza dei rendimenti. Tuttavia, diversamente dagli ottimizzatori quadratici, HRP non richiede l'invertibilità della stessa, essendo in grado di trovare soluzioni in corrispondenza di matrici di covarianza mal-condizionate o addirittura singolari, impresa impossibile per ottimizzatori quadratici.