On the evolution of Aharonov-Berry superoscillations

The studies conducted by Aharonov, Berry and their collaborators in the last 50 years led to the discovery of a new phenomenon in quantum physics field called superoscillations. The surprising fact is that it seems to violate the well known principle of harmonic analysis, indeed superoscillations can be thought as functions that can oscillate faster than their fastest Fourier component. One of the main purposes of this dissertation is to give a unified overview of the various definitions of superoscillating functions, which have been evolving in the past few years, in order to adapt to the increasing level of generality required by the problem at hand. We complement the discussion with plots to illustrate the phenomenon of superoscillations and to display the superoscillation region and the region of fast superoscillation. Furthermore, I discuss the persistence of the superoscillatory behavior when superoscillating sequences are taken as initial values of Schrödinger type equations. This leads to the study of a general strategy to approach those problems, which is mainly focused on proving the continuity of operators acting on entire functions. Finally, I analyse in details the case of the quantum harmonic oscillator and, in order to take into account singularities of the evolved datum, I consider a more general notion of superoscillation, termed supershift. Thanks to this new definition it is possible to enlarge the superoscillatory notion also to distributions and hyperfunctions.

Gli studi condotti da Aharonov, Berry e i loro collaboratori negli ultimi 50 anni hanno portato alla scoperta di un nuovo fenomeno nel campo della fisica quantistica chiamato superoscillazioni. Il fatto sorprendente è che sembra violare il noto principio dell'analisi armonica, infatti le superoscillazioni possono essere pensate come funzioni che possono oscillare più velocemente del loro componente di Fourier più veloce. Uno degli scopi principali di questa tesi è fornire una panoramica unificata delle varie definizioni di funzioni superoscillanti, che si sono evolute negli ultimi anni, al fine di adattarsi al crescente livello di generalità richiesto dal problema in questione. Completiamo la discussione con grafici volti ad illustrare il fenomeno delle superoscillazioni e a visualizzare la regione di superoscillazione e la regione di superoscillazione rapida. Inoltre, ho discusso la persistenza del comportamento superoscillante quando sequenze superoscillanti sono prese come valori iniziali di equazioni della tipologia di Schrödinger. Questo porta allo studio di una strategia generale per affrontare questi problemi, che si concentra principalmente sulla dimostrazione della continuità di operatori che agiscono su funzioni intere. Infine, analizzo in dettaglio il caso dell'oscillatore armonico quantico e, per tenere conto delle singolarità del dato evoluto, considero una nozione più generale di superoscillazione, indicata con supershift. Grazie a questa nuova definizione è possibile estendere la nozione di superoscillazione anche a distribuzioni e iperfunzioni.