Conservative multirate schemes for flow in heterogeneous porous media

The aim of this work is to develop multirate time integration methods for multiphase flow in heterogeneous porous media. Numerical simulations of multiphase systems may involve many challenges: physical phenomena that take place at different space scales (from micro-scales to real field scales) and highly heterogeneous permeability fields that may cause the co-existence of fast and slow processes. For these reasons we propose a solution strategy based on a self-adjusting conservative implicit multirate method. The scheme is able to use different time step sizes in different area of the domain preserving the local mass conservation thanks to a flux-based refinement strategy. The properties of the proposed method, consistency and stability, are analyzed, showing that the multirate approach preserves the properties of the underlying numerical scheme used to integrate the system in time. The novel multirate approach is combined with an advanced multiscale technique. The obtained method is able to address the multiscale in space nature of the problem, and also to tackle multiple time scales for the sequentially coupled flow and transport equations. Moreover, a space-time algebraic dynamic multilevel method (ADM-LTS) to solve transport equations in heterogeneous porous media is presented. The method constructs an adaptive multilevel space-time grid, based on error estimators, and solves the time dependent problem with local time stepping. The method employs space-time fine-grid cells only at the moving saturation fronts, reducing the computational costs and preserving the accuracy of the solution. The accuracy and efficiency of the new methods are investigated in a wide range of numerical test cases for multiphase flows in heterogeneous porous media. The results demonstrate that the proposed methods provide a promising strategy to optimize the trade-off between accuracy and efficiency.

L'obiettivo di questo lavoro è di sviluppare metodi multirate di integrazione in tempo per flussi multifase in mezzi porosi eterogenei. Simulazioni numeriche di sistemi multifase possono nascondere molte insidie: fenomeni fisici che avvengono a scale spaziali diverse (da micro-scale a scale di campi reali) e campi caratterizzati da permeabilità fortemente eterogenee che potrebbero causare la coesistenza di processi veloci e lenti. Per queste ragioni proponiamo una strategia incentrata su un metodo multirate auto-adattivo implicito e conservativo. Il metodo è in grado di usare passi temporali differenti a seconda delle differenti regioni del dominio, preservando localmente la massa grazie ad una strategia di raffinamento basata sui flussi numerici. Le proprietà del metodo proposto, consistenza e stabilità, sono state analizzate, mostrando che l'approccio multirate preserva le proprietà dello schema numerico utilizzato per integrare in tempo il sistema. Il nuovo approccio multirate è stato integrato con una innovativa tecnica multi-scala. Il metodo così ottenuto è in grado di confrontarsi con la parte spaziale multi-scala del problema, e anche di tenere in considerazione i multipli domini temporali per le equazioni sequenziali accoppiate di flusso e trasporto. Inoltre, proponiamo un metodo algebrico dinamico multi-livello spazio-tempo (ADM-LTS) per risolvere le equazioni di trasporto in mezzi porosi eterogenei. Il metodo costruisce una griglia adattiva multi-livello in spazio e tempo basata su degli stimatori dell'errore e risolve il problema tempo dipendente con passi temporali locali. Il metodo utilizza una griglia fine in spazio e tempo solo sui fronti di saturazione in movimento, riducendo il costo computazionale e preservando l'accuratezza della soluzione. L'accuratezza e l'efficienza dei nuovi metodi sono stati studiate in un ampio raggio di casi test numerici per flussi multifase in mezzi porosi eterogenei. I risultati dimostrano che questi metodi propongono una strategia promettente per ottimizzare il trade-off tra accuratezza ed efficienza.