The Rough Heston model

From high frequency data, it is evident that log-volatility behaves essentially as a fractional Brownian motion. Because of this, rough volatility models have been recently created, in order to reproduce the historical and the implied volatility behaviour. In particular, we study the rough Heston model and its market foundations. However, this model is no longer Markovian and this feature creates some difficulties when dealing with the derivatives pricing world. The rough model can be derived through a market model based on Hawkes processes. Starting from this approach, we are able to compute the log-price characteristic function in the rough volatility framework. We can obtain the rough Heston characteristic function as a solution of a fractional Riccati equations, but this computation is expensive and it requires advanced numerical methods. This is the reason why we present a Markovian approximation of the rough model, called "lifted Heston model", in order to conciliate the simplicity of the classical Heston model and the precision of the rough one.

É chiaro dai dati dei mercati ad alta frequenza che il logaritmo della volatilità si comporta essenzialmente come un moto Browniano frazionario. Perciò, per riprodurre il comportamento della volatilità storica e implicita, sono stati creati i modelli a volatilità ruvida. In particolare, analizziamo il modello di Heston ruvido e le sue radici nel mercato. Tuttavia, questo modello non è più Markoviano e questa caratteristica crea dei problemi quando si devono prezzare delle opzioni. Il "rough Heston" può essere derivato attraverso un modello di mercato basato sui processi di Hawkes. Seguendo questo approccio, possiamo trovare la funzione caratteristica del log-price nel contesto della volatilità ruvida. Possiamo ottenere la funzione caratteristica come soluzione di un’equazione di Riccati frazionaria, ma questi calcoli sono dispendiosi e richiedono metodi numerici avanzati. Ecco perchè presentiamo un’approssimazione Markoviana del modello ruvido, chiamata "lifted Heston model", così da conciliare la semplicità del modello di Heston classico con la precisione di quello ruvido.