Discontinuous Galerkin approximation of flows in fractured porous media on polygonal and polyhedral grids

In this thesis, we present a numerical approximation of Darcy's flow through a fractured porous medium which employs discontinuous Galerkin methods on polytopic grids. Our method is very flexible from the geometrical point of view, being able to handle meshes made of arbitrarily shaped elements, with edges/faces that may be in arbitrary number (potentially unlimited) and whose measure may be arbitrarily small. Our approach is then very well suited to tame the geometrical complexity featured by most of applications in the computational geoscience field. We adopt a model for single-phase flows that treats fractures as a (d-1)-dimensional interfaces between two d-dimensional subdomains, d = 2; 3. In the model, the flow in the porous medium (bulk) is assumed to be governed by Darcy's law and a suitable reduced version of the law is formulated on the surface modelling the fracture. The two problems are then coupled through physically consistent conditions. For simplicity, in the first part of the thesis, we consider the case where the porous medium is cut by a single, non-immersed fracture. We take into account all the possible combinations of primal/primal, mixed/primal, primal/mixed and mixed/mixed formulations for the Darcy's law describing the flow in the bulk and fracture problems, respectively. In particular, the primal discretizations are obtained using the Symmetric Interior Penalty DG method, and the mixed discretizations using the Local DG method, both in their generalization to polytopic grids. We perform a unified analysis, based on the flux formulation, of all the derived combinations of DG discretizations, where the coupling conditions between bulk and fracture are imposed through a suitable definition of the numerical fluxes on the fracture faces. We prove well-posedness and derive a priori hp-error estimates in a suitable (mesh-dependent) energy norm. Next, we extend the primal-primal formulation to the case of networks of intersecting fractures, supplementing the model with conditions prescribing pressure continuity and flux conservation along the intersections. Both the bulk and fracture discretizations are obtained employing the SIPDG method extended to the polytopic setting, the key point to obtain a DG discretization being the generalization of the concepts of jump and average at the intersection. We prove the well-posedness of the discrete formulation and perform an error analysis obtaining a priori hp-error estimates. All our theoretical results are validated performing numerical tests with known analytical solution. Moreover, we consider more realistic configurations involving totally immersed networks of fractures. Finally, we briefly explore the case where the position of the fractures is uncertain and may be described by a stochastic parameter. We present some preliminary numerical results that employ a stochastic collocation approach.

In questa tesi presentiamo un'approssimazione numerica per il flusso di Darcy attraverso un mezzo poroso fratturato, che utilizza i metodi discontinuous Galerkin su griglie poligonali. Il nostro metodo è molto flessibile dal punto di vista geometrico, essendo in grado di gestire griglie composte da elementi di forma arbitraria, con un numero qualsiasi (potenzialmente illimitato) di lati/facce, la cui misura può essere arbitrariamente piccola. Il nostro approccio risulta quindi molto efficace nel gestire la complessità geometrica che caratterizza la maggior parte delle applicazioni nell'ambito delle geoscienze. Il modello per flussi monofase adottato considera le fratture come interfacce (d-1)-dimensionali tra due sottodomini d-dimensionali, d = 2; 3. Il modello assume che il flusso nel mezzo poroso (bulk) sia governato dalla legge di Darcy e che una opportuna versione ridotta della legge sia formulata sulla superficie che descrive la frattura. I due problemi sono poi accoppiati tramite condizioni fisicamente consistenti. Per semplicità, nella prima parte della tesi, consideriamo il caso in cui il mezzo poroso è tagliato da una singola frattura non immersa. Prendiamo in considerazione tutte le possibili combinazioni di formulazioni per il problema di Darcy che descrive il flusso nel mezzo poroso e lungo la frattura, cioè primale/primale, mista/primale, primale/mista e mista/mista. In particolare, le discretizzazioni primali sono ottenute con il metodo DG Symmetric Interior Penalty e le discretizzazioni miste con il metodo Local DG, entrambi nella loro generalizzazione a griglie poligonali/poliedriche. Svolgiamo un'analisi unificata di tutte le combinazioni di discretizzazioni DG derivate, nella quale le condizioni di accoppiamento tra bulk e frattura sono imposte tramite una opportuna definizione dei flussi numerici sulle facce di frattura. Proviamo la loro buona posizione e deriviamo stime hp dell'errore a priori in una norma dell'energia opportuna (dipendente dalla mesh). Successivamente, estendiamo la formulazione primale-primale al caso di network di fratture che si intersecano tra loro. A tal fine estendiamo il modello fisico aggiungendo delle condizioni che impongono la continuità della pressione e la conservazione del flusso lungo le intersezioni. Sia la discretizzazione del problema nel bulk, che quella del problema lungo le fratture sono ottenute utilizzando il metodo SIPDG esteso al setting poligonale. Il punto fondamentale per ottenere una discretizzazione DG del problema risiede nella opportuna generalizzazione dei concetti di salto e media alle intersezioni. Dimostriamo la buona posizione della formulazione discreta e svolgiamo un'analisi dell'errore ottenendo stime a priori hp. Tutti i nostri risultati teorici sono validati tramite test numerici con soluzione analitica nota. Inoltre consideriamo anche configurazioni più realistiche che coinvolgono network di fratture che presentano intersezioni e sono totalmente immersi nel dominio computazionale. Infine, esploriamo brevemente il caso in cui la posizione delle fratture è affetta da incertezza e può essere descritta tramite un parametro stocastico. In particolare presentiamo alcuni risultati numerici preliminari dove utilizziamo un approccio di tipo collocazione stocastica.