A high-order discontinuous Galerkin approach to the poro-elasto-acoustic problem

The aim of this thesis is to introduce a discretization of the physical phenomenon of propagation of acoustic waves through poroelastic materials, by exerting a finite element discontinuous Galerkin method on polygonal meshes. Wave propagation is modeled by acoustics equations in the acoustic domain and low-frequency Biot’s equation in the poroelastic one. The coupling is introduced by considering interface conditions, imposed on the interface between the domains, of different nature: open and sealed pores. Existence and uniqueness is proven for the continuous problem. For the space discretization we introduce a discontinuous Galerkin method, which is then coupled with suitable time integration schemes, such as the leapfrog, the Newmark and the generalized α-method. A stability analysis both for the continuous problem and the semi-discrete one is presented and error estimates for the energy norm are derived. A numerical implementation is achieved through the software Matlab and a wide set of numerical results obtained on test cases with manufactured solutions are presented in order to validate the error analysis. Numerical experiments are also presented by dealing with different scenarios, meshes and interfaces.

Lo scopo di questa tesi è quello di introdurre una discretizzazione del fenomeno fisico della propagazione di onde acustiche attraverso materiali poroelastici, tramite un metodo a elementi finiti di tipo discontinuous Galerkin su mesh poligonali. La propagazione delle onde `e modellizzata da equazioni acustiche nel dominio acustico e dalle equazioni di Biot a bassa frequenza in quello poroelastico. L’accoppiamento viene introdotto considerando le condizioni di interfaccia, imposte all’interfaccia tra i due domini, di diversa natura: open pores e sealed pores. Viene dimostrata l’esistenza e unicità del problema continuo. Viene introdotto un metodo discontinuous Galerkin per la discretizzazione in spazio, che viene poi accoppiato tramite schemi di integrazione in tempo, e.g.: leapfrog, Newmark e generalized α-method. Un’analisi di stabilità è presentata sia per la formulazione debole del problema continuo, che per la formulazione del problema semi-discreto e vengono derivate stime dell’errore per la norma energia. Un’implementazione numerica è svolta attraverso il software Matlab e viene presentata una serie di risultati numerici, ottenuti da casi test con soluzioni costruite appositamente, al fine di confermare l’analisi sull’errore. Vengono inoltre presentate simulazioni numeriche trattando diversi scenari, mesh e interfacce.