Valutazione di un'opzione cliquet floored nell'ambito di un modello basato sui processi di Sato

Since Black and Scholes published their article on option pricing in 1973, there has been an explosion of theoretical and empirical work on the subject. However, over the last thirty years, a vast number of pricing models have been proposed as an alternative to the classic Black-Scholes approach, whose assumption of lognormal stock di usion with constant volatility is considered always more awed, because the distribution perceived by market partici- pant and incorporated into option prices is substantially negatively skewed, in contrast to the essentially symmetric and slightly positively lognormal distribution underlying the Black-Scholes model. There are two assumptions that have to be made in order to price derivatives with the Black-Scholes model: volatility is costant and asset prices follow continuous sample paths . Therefore, extensions of the Black-Scholes model that capture the existence of volatility smile can be grouped in two approaches, each one relaxing one of these two assumptions. Relaxing the rst assumption leads to the stochastic volatility family of models, where the volatility parameter follows a separate di usion, as pro- posed by Heston . Relaxing the assumption of continuous sample paths, leads to jump models, where stock prices follow an exponential L evy process of jump-di usion type or pure jumps type. Jump models attribute the biases in Black-Scholes model to fears of a further stock market crash; they would interpret the crash as a revelation that jumps can in fact occur. L evy processes are an active eld of research in nance, and many models have been presented during the last years. Some famous models are Merton normal jump-di usion and Kou double- exponential jump-di usion, which are of jump-di usion type, and Variance Gamma and Normal Inverse Gaussian which are pure jump models and can be obtained through the subordination of a Brownian motion. Recently, E. Eberlein and D.B.Madan have studied a subclass of L evy pro- cesses called Sato processes, analyzing the impact caused by their use as models of the logarithmic price in the valuation of structured products; the paper in which present the results obtained gave rise to this thesis. The rst chapter introduces the L evy processes giving their de nition, the important result known as the formula L evy-Khintchine and Levy-Ito decomposition, explaining why the nancial world is interested in this type of process. The second chapter is focused on the Sato processes : starting with the def- inition of self-decomposable processes all the most important characteristics that concerning these processes are showed. The next chapter introduces the structured products whose presence in the nancial markets is still growing, just consider that in 2004 their volume was 12 billions of U.S. dollars, in 2005 was 50 billions and in 2006 and was by a further 25 %; after presenting the main features that they may have, the most famous ones are de ned. In the fourth chapter the paper by E. Eberlein and D.B.Madan was intro- duced, reporting their consideration of Sato processes and their mathematical properties and explaining the results they obtained from their analysis. Finally in the fth chapter a structured product was priced by a model based on the process of VGSSD Sato; future developments will be proposed in the last chapter.

Dal famoso articolo di Black and Scholes del 1973 sulla valutazione delle opzioni, una notevole quantit a di articoli e stata scritta sull'argomento. Tuttavia, col passare del tempo, l'ipotesi fondamentale del modello di Black- Scholes che il sottostante segua una di usione lognormale con una volatilit a costante si e rivelata sempre pi u di cile da sostenere; di conseguenza, negli ultimi 40 anni sono stati presentati diversi modelli alternativi, in quanto si e iniziato ad osservare divari molto signi cativi tra i prezzi di opzioni su vari indici azionari e prezzi dati dal modello di Black-Scholes. Due ipotesi sono fondamentali nel modello di Black-Scholes per poter prez- zare derivati: i) la volatilit a e costante, ii) i prezzi devono seguire una traiettoria continua. Tutte le estensioni del modello di Black-Scholes che tentano di catturare l'e etto smile della volatilit a si basano sul rilassamento di almeno una delle ipotesi. Rimuovendo l'ipotesi di volatilit a costante si arriva ai modelli di volatilit a stocastica, in cui il parametro della volatilit a segue una di usione correlata con quella del sottostante; uno di questi modelli e stato presentato da Heston . Rimuovendo l'ipotesi di continuit a della traiettoria si giunge invece ai modelli con salti, nei quali il prezzo del sottostante segue un processo di L evy del tipo `jump-di usion' o del tipo `pure jumps': i processi della prima classe sono caratterizzati da un processo di usivo che viene interrotto da salti in tempi aleatori; invece quelli della seconda presentano un numero in nito di salti in ogni intervallo e per questo vengono detti processi ad attivit a in nita. I modelli con salti attribuiscono gli errori del modello Black-Scholes ai timori di un futuro crollo delle quotazioni che non vengono presi in considerazione nella valutazione delle opzioni, questi modelli ritengono dunque che un crollo delle quotazioni sia un evento plausibile. In particolare i processi di L evy sono un tema di ricerca molto studiato in - nanza in quanto si adattano bene a descrivere l'andamento delle distribuzioni dei rendimenti dello stock nel caso in cui questi siano caratterizzati da code spesse ed elevata curtosi e per questo motivo svariati modelli sono stati presentati durante gli ultimi anni. I pi u noti sono i modelli Merton normal jump-di usion e Kou double expo- nential jump-di usion, che sono modelli di tipo jump-di usion; bisogna per o osservare che lo sviluppo di entrambi richiede la conoscenza di complicate funzioni speciali nel caso in cui si cerchi una formula di prezzo a partire dalla distribuzione di probabilit a. Invece sono di tipo pure jumps i modelli Variance Gamma e Normal Inverse Gaussian, i quali possono essere ottenuti attraverso la subordinazione di un moto Browniano. Di seguito un modello importante e stato proposto da Carr, Geman, Madan e Yor: si tratta di una distribuzione a 4 parametri chiamata CGMY in seguito generalizzata a 6 parametri. Recentemente E.Eberlein e D.B.Madan si sono interessati ad una sottoclasse dei processi di L evy, i cui elementi sono detti processi di Sato, studiando l'impatto dovuto dal loro utilizzo come modelli del prezzo logaritmico degli stocks nel prezzaggio dei prodotti strutturati; l'articolo in cui presentano i risultati ottenuti ha dato origine a questa tesi. Nel primo capitolo vengono introdotti i processi di L evy dandone la de nizione e presentando l'importante risultato noto come formula L evy- Khintchine e la decomposizione di L evy-Ito; presentato l'aspetto matematico si spiega perch e il mondo nanziario si e interessato a questa tipologia di processi. Il secondo capitolo e dedicato ai processi di Sato: partendo dalla de nizione di processi autodecomponibili si arriva a presentare le caratteristiche che contraddistinguono questi processi. Il capitolo successivo e invece dedicato ai prodotti strutturati la cui presenza nei mercati nanziari e in continua espansione, basti pensare che nel 2004 il volume che li riguardava in Usa era di 12 billioni di dollari, nel 2005 era pari a 50 billioni e nel 2006 era cresciuto di un ulteriore 25%; dopo avere presentato le caratteristiche principali che possono essere presenti in questi prodotti, vengono introdotti quelli pi u noti.Nel quarto capitolo viene presentato l'articolo di E.Eberlein e D.B.Madan, riportando le loro considerazione sui processi di Sato e le loro propriet a matematiche e illustrando i risultati che hanno ottenuto dal loro studio e ettuato. In ne nel quinto capitolo viene prezzato uno dei prodotti precedentemente illustrati attraverso un modello basato sul processo di Sato VGSSD, mentre nel sesto capitolo vengono proposti futuri sviluppi.