Approssimazione numerica di soluzioni stazionarie delle equazioni di Navier Stokes bidimensionali ad alti numeri di Reynolds

In this thesis we have studied the problem of identifying solutions of the steady incompressible Navier Stokes equations for large Reynolds number. For large values of this parameter, the steady state loses its stability and, assuming that the stationary solution exists, it cannot be computed numerically by means of an approximation of the standard initial-boundary-value problem. Our main aim is to study the stationary solution behavior of the flow past a circular cylinder which, in the case of unbounded domains, has for a long time received much attention, both theoretically and numerically. It is well known that the solution becomes unstable as early for a low reynolds number. Despite its importance, there are many questions that remain open. The most important one is the existence of a solution when the viscosity approaches to zero. In this work, the steady incompressible Navier Stokes equations, discretized using spectral element method, are solved by applying the pseudo transient continuation technique to the Newton method. This method is attractive in these applications thanks to its rapid convergence, but the basic method is very sensitive to the initial iterate and may diverge if it is not sufficiently close to the solution. Then, the globalization technique pseudo transient continuation seeks to move arbitrary initial iterates into the basin of attraction of Newton’s method. The strategy is based on mimics a temporal integration scheme to derive the linear equation for calculating Newton increments; linear equation that is subsequently solved following the matrix-free strategy with a Krylov method, where the Krylov iterations correspond to the time integration of the unsteady problem. First we introduce the theoretical and numerical results of the steady Navier-Stokes problem in an exterior domain, available at this day in literature. Then, we present the mathematical model and the preconditioned Newton's method, whose efficiency is tested on the lid-driven cavity problem. Finally, we present the results we obtained for the main problem.

In questa tesi è stato studiato il problema della ricerca di soluzioni stazionarie per le equazioni di Navier Stokes ad alti valori del numero di Reynolds. Per grandi valori di questo parametro il regime stazionario governato dalle equazioni di Navier Stokes perde la sua stabilità e, ammesso che la soluzione stazionaria esista, non può essere calcolata con i metodi tradizionali. Il nostro principale obiettivo è lo studio del comportamento della soluzione stazionaria del flusso intorno ad un cilindro, che nel caso di domini illimitati, risulta un caso ampiamente studiato sia dal punto di vista teorico che applicativo. Nonostante la sua grande rilevanza e gli innumerevoli tentativi matematici, il problema presenta diverse questioni fondamentali ancora aperte. La più significativa è senza dubbio l'esistenza di una soluzione in $2D$ per alti valori del numero di Reynolds. Per quanto scoperto fino ad ora non è detto che la soluzione esista. In ogni caso, anche ammesso che esista, la soluzione stazionaria diventa già instabile ad un bassissimo numero di Reynolds. In questo lavoro, le equazioni stazionarie incomprimibili di Navier Stokes, discretizzate con il metodo agli elementi spettrali, sono risolte applicando la tecnica della pseudo transient continuation al metodo di Newton. Il metodo di Newton è interessante per la risoluzione di sistemi non lineari grazie alla sua rapida convergenza, ma è molto sensibile all'iterata iniziale e può divergere se questa non è sufficientemente vicina alla soluzione. Quindi, l'obiettivo della tecnica di globalizzazione pseudo transient continuation è quello di ``spostare'' le iterate iniziali nel bacino di attrazione del metodo di Newton. Questo metodo sfrutta le equazioni non stazionarie per ricavare l'equazione lineare per il calcolo degli incrementi di Newton; equazione lineare che viene successivamente risolta seguendo la strategia matrix-free con un metodo di Krylov; dove le iterazioni di Krylov corrispondono alle integrazioni temporali del problema non stazionario. In primo luogo introduciamo i risultati teorici e numerici, presenti in questo momento in letteratura per il problema stazionario di Navier Stokes in un dominio esterno. In secondo luogo, presentiamo il modello matematico utilizzato e il metodo di Newton precondizionato, la cui efficienza è stata testata sul problema del flusso in cavità. Infine, presentiamo i risultati da noi ottenuti per il problema di interesse.