Calcolo di Malliavin e copertura di opzioni asiatiche

The aim of this paper is to propose a method to cover and pricing Asian options, using the Malliavin calculus. Before doing so, we will show various methods developed over the years to cover Asian Options. In this overview, chapter one, we would prefer to focus on its strengths and weaknesses, limitations and possi- ble developments of the methods listed, rather than a rigorous formal- ism to demonstrate results. The rst class of methods that we analyze will be Monte-Carlo methods for derivation of which see di erential methods, methods based on the path, and using maximum likelihood estimators. Another class of methods that we shall see, the analytic, which divide into comonotonic approximation, integral representation and approximation of Taylor. The last class of methods that we nd in this chapter are those based on nite di erences. More precisely, we will discuss semi-analytical method of Zhang. In chapter two we will enter instead into a detailed discussion of the Malliavin calculus, in particular, show the concept of Malliavin derivative, and demonstrate some of its properties that will serve us later in our work. The most important result, that we will meet in the chapter, will be the Clark-Ocone formula. We will play as an example of application, the calculation of the Greeks of an Asian options with arithmetic average. In the third chapter we will enter into the heart of the work. Apply the results previously obtained to be able to reach a quasi-explicit formulation of price and hedging strategy in arithmetic average Asian options. We will nd two possible ways: a formula solved by using a triple integral, and another by solving a partial di erential equation. In the fourth chapter we will implement some programs with which we will discuss which method seems best. To solve the EDP we will use a nite di erence method: the techniques we will apply to our equation for calculating are UPWIND and THETA-METHOD. In the fth chapter retrace the same steps carried out in chapter three, this time trying to arrive at a method for pricing and hedging Asian option with geometric average. In this case, however, we will encounter more obstacles that force us to abandon the way of analyt- ical methods and exploit the Monte-Carlo. This is because we are not able to express a probability explicitly or quasi-explicitly. We will use the antithetic variable method to reduce the variance of the problem. In the end we will be able to assess and compare between them, dynamic hedging strategies for Asian options with average rate.

Lo scopo di questo lavoro e quello di proporre un metodo per coprire e prezzare opzioni Asiatiche, sfruttando il calcolo di Malliavin. Prima di fare ci o, mostreremo vari metodi sviluppati nel corso degli anni per coprire opzioni Asiatiche. In questo excursus, capitolo uno, preferiremo porre l'attenzione sui pregi e difetti, limiti ed even- tuali sviluppi, dei metodi elencati, piuttosto di un rigoroso formalismo nel dimostrare i risultati ottenuti. La prima classe dei metodi che an- dremo ad analizzare sar a di tipo Monte-Carlo, dei quali vedremo meto- di di derivazione di erenziale, metodi basati sulla traiettoria, e che usano stimatori di massima verosimiglianza. Un'altra classe di meto- di che vedremo, e quella analitica, che divideremo in approssimazione comonotonica, rappresentazione integrale ed approssimazione di Tay- lor. L'ultima classe di metodi che troviamo in questo capitolo, sono quelli basati sulle di erenze nite. Per l'esattezza approfondiremo il metodo semi-analitico di Zhang. Nel capitolo due entreremo invece in una trattazione dettagliata del calcolo di Malliavin, in particolare mostreremo il concetto di derivata di Malliavin, e dimostreremo alcune sue propriet a che ci serviranno nel prosieguo del nostro lavoro. Il risultato pi u importante che incon- triamo nel capitolo sar a la formula di Clark-Ocone. Svolgeremo, come esempio d'applicazione, il calcolo delle greche di un'opzione Asiatica di tipo aritmetico. Nel terzo capitolo entreremo nel vivo del lavoro. Applicheremo i risultati precedentementi ottenuti per riuscire ad arrivare ad una formulazione quasi-esplicita del prezzo e della strategia di copertura di un'opzione Asiatica a media aritmetica. Troveremo per l'esattezza due strade percorribili: una formula risolvibile tramite l'utilizzo di un integrale triplo, ed un'altra tramite la risoluzione di una equazione alle derivate parziali. Nel quarto capitolo implementeremo dei programmi con i quali discuteremo quale metodo ci sembra il migliore. Per risolvere l'EDP useremo un metodo alle di erenze nite, per l'esattezza applichere- mo alla nostra equazione le tecniche di calcolo UPWIND e THETA- METODO. Nel quinto capitolo ripercorreremo gli stessi passi svolti nel capi- tolo tre, cercando questa volta di arrivare ad un metodo per prezzare e coprire opzioni Asiatiche di tipo geometrico. In questo caso incontr- eremo per o pi u ostacoli, che ci costringeranno ad abbandonare la via analitica e sfruttare i metodi Monte-Carlo. Questo perch e non sare- mo in grado di esprimere una probabilit a in forma esplicita o quasi- esplicita. Useremo il metodo della variabile antitetica per ridurre la varianza del problema. In definitiva saremo in grado di stabilire, e confrontare fra loro, strategie di hedging dinamico per opzioni Asiatiche di tipo average rate.