Posted pricing with time-discounted valuations and Poisson arrivals

In this thesis, we design economic mechanisms said of posted-price in order to sell a unique good in a finite period of time. A practical example is the long-term rental of rooms and/or apartments. The aim of the mechanisms is to maximize the seller's revenue. We assume agents sequentially arrive to the market according to a Poisson process and are offered a take-it-or-leave-it price. Their valuations are unknown to the seller and time-variant. In particular, they are assumed to be decreasing over time according to a discount function. We define and analyze two different scenarios which differ in the assumptions made on the valuations. The settings are studied both with theoretical and mathematical optimization approach. We first study the Identical Valuation setting, where all agents have the same valuation for the item, that is unknown to the seller. We provide the optimal pricing mechanism according to a worst-case competitive analysis, in the case of a generic discount function. We specify the optimal mechanism M1 when the discount linearly depends on time. M1 has a pricing strategy that is continuous over time. In the same scenario, a mathematical programming approach is presented. This method turns out to approximate arbitrarily well the optimal mechanism. Then, we study the Random Valuation setting, where agents' valuations are drawn from an unknown distribution F with monotone non-decreasing hazard rate. We provide a new mechanism M2 that propose a staircase pricing strategy, in the case of linear discount. We study the performances of M1 and M2, deriving two lower bounds for the competitive ratios. These values turn out to be constant with respect to the choice of F. The Random Valuation setting is also studied from an optimization perspective.

In questa tesi definiamo dei meccanismi economici detti di posted-price al fine di vendere un unico bene entro un certo periodo di tempo. Un esempio pratico è quello degli affitti a lungo termine di camere e/o appartamenti. Il nostro obiettivo è quello di progettare meccanismi che siano in grado di massimizzare il guadagno. Si assume che gli agenti arrivino nel mercato in modo sequenziale, secondo un processo di Poisson e venga offerto loro un take-it-or-leave-it price. Le loro valutazioni sono ignote al venditore e tempo varianti. In particolare sono assunte decrescere nel tempo secondo una funzione di sconto. Definiamo e analizziamo due scenari che differiscono nelle assunzioni sulle valutazioni. Questi scenari sono studiati sia con un approccio teorico, che tramite programmazione matematica. Inizialmente, studiamo lo scenario Identical Valuation, dove tutti gli agenti hanno la stessa valutazione del bene, ignota al venditore. In questo scenario, proponiamo il meccanismo ottimo, secondo una worst-case competitive analysis, nel caso di generica funzione di sconto. Nel caso di sconto lineare del tempo, il meccanismo ottimo, che chiamiamo M1, ha una strategia di prezzo continua nel tempo. Nello stesso scenario, viene presentato un approccio tramite programmazione matematica che approssima arbitrariamente bene il meccanismo ottimo. Successivamente, studiamo lo scenario Random Valuation, dove le valutazioni degli agenti sono estratte da un'ignota distribuzione di probabilità F che presenta monotone non-decreasing hazard rate. Proponiamo un nuovo meccanismo M2 con una strategia di prezzo costante a tratti, nel caso di sconto lineare nel tempo delle valutazioni. Studiamo le prestazioni di M1 e M2, calcolando due lower bounds per il fattore competitivo. Questi valori risultano costanti rispetto alla scelta di F. Lo scenario Random Valuation viene studiato anche da una punto di vista di programmazione matematica.