Mathematical analysis and numerical modeling of a Cahn-Hilliard-Boussinesq system with logarithmic potential

This thesis aims at investigating some theoretical and numerical properties of the 2D Cahn-Hilliard-Boussinesq equations with logarithmic potential. They consist in the coupling of the Cahn-Hilliard equation for the concentration difference $varphi$ of two components of a binary system to the heat-conductive Boussinesq equations for the (volume averaged) fluid velocity $mathbf{u}$ of the mixture and the temperature $theta$. The resulting system models the interactions between the thermodynamic transition and the hydrodynamic flow of a compressible binary mixture in a phase separation process. We first prove the existence of weak solutions, with standard boundary conditions for $varphi$ and $mathbf{u}$ (i.e. no-flux and no-slip) and nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions for $theta$. Then we establish the existence of more regular solutions. More precisely, the existence of a quasi-strong solution provided that the initial data for $varphi$ and $mathbf{u}$ are more regular, and the existence of a strong solution if the initial temperature is enough regular as well. We also obtain some stability estimates in case of more regular initial data: a continuous dependence estimate on the initial data which yields, in particular, the weak-strong uniqueness and a stronger stability estimate for strong solutions. In particular, we also find the uniqueness of quasi-strong solutions. We then study the problem numerically by discretizing the equations. We first develop a numerical scheme that we prove to be mass-preserving and stable with respect to the total energy, under suitable conditions on the parameters. Furthermore, we exploit an adaptive timestep since the time scales are quite variable over time. Finally, we implement the proposed algorithm and we numerically simulate some scenarios with various initial temperature fields, by verifying the stability and mass-preserving properties of the scheme.

L'obiettivo di questa tesi è quello di investigare alcune proprietà teoriche e analitiche delle equazioni di Cahn-Hilliard-Boussinesq in 2D con potenziale logaritmico. Queste consistono nell'accoppiamento dell'equazione di Cahn-Hilliard, per la differenza di concentrazione $varphi$ tra due componenti di un sistema binario, con le equazioni di Boussinesq per la conduzione del calore, per la velocità $mathbf{u}$ (media sul volume) della miscela e per la temperatura $theta$. Il sistema risultante modellizza le interazioni tra transizione termodinamica e flusso idrodinamico di una miscela binaria comprimibile durante il processo di separazione di fase. Per prima cosa si dimostra l'esistenza di soluzioni deboli, con condizioni al bordo standard per $varphi$ e $mathbf{u}$ (i.e. assenza di flusso e no-slip) e condizioni di Dirichlet non omogenee per $theta$. In seguito si stabilisce l'esistenza di soluzioni più regolari. Più precisamente, si prova l'esistenza di una soluzione quasi-forte, purché i dati iniziali per $varphi$ e $mathbf{u}$ siano più regolari, e l'esistenza di una soluzione forte se anche la temperatura iniziale è sufficientemente regolare. Si ottengono anche delle stime di stabilità in caso di dati iniziali più regolari: una stima di dipendenza continua dai dati iniziali che garantisce, in particolare, l'unicità debole-forte e una stima di stabilità per soluzioni forti. In particolare, si mostra anche l'unicità delle soluzioni quasi-forti. Si studia poi numericamente il problema, discretizzando le equazioni: si sviluppa uno schema numerico che si dimostra conservare la massa ed essere stabile rispetto all'energia totale, sotto opportune condizioni sui parametri. Si sfrutta poi un passo temporale adattivo, poiché le scale temporali sono piuttosto variabili nel tempo. In conclusione, si implementa l'algoritmo proposto e si simulano numericamente vari scenari con diversi campi iniziali di temperatura, verificando la stabilità e la proprietà di conservazione della massa.